Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1 Structured version   Unicode version

Theorem fta1 20227
 Description: The easy direction of the Fundamental Theorem of Algebra: A nonzero polynomial has at most deg roots. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fta1.1
Assertion
Ref Expression
fta1 Poly deg

Proof of Theorem fta1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2 deg deg
2 dgrcl 20154 . . . . 5 Poly deg
32adantr 453 . . . 4 Poly deg
4 eqeq2 2447 . . . . . . 7 deg deg
54imbi1d 310 . . . . . 6 deg deg deg deg
65ralbidv 2727 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
7 eqeq2 2447 . . . . . . 7 deg deg
87imbi1d 310 . . . . . 6 deg deg deg deg
98ralbidv 2727 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
10 eqeq2 2447 . . . . . . 7 deg deg
1110imbi1d 310 . . . . . 6 deg deg deg deg
1211ralbidv 2727 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
13 eqeq2 2447 . . . . . . 7 deg deg deg deg
1413imbi1d 310 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
1514ralbidv 2727 . . . . 5 deg Poly deg deg Poly deg deg deg
16 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . 11 Poly
1716adantr 453 . . . . . . . . . 10 Poly deg
18 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg deg
19 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
2019ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly
21 0dgrb 20167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg deg
2318, 22mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
2423fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
2519adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly deg Poly
26 plyf 20119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
27 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28 fniniseg 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2925, 26, 27, 284syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly deg
3029biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly deg
3130simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
3230simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly deg
33 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3433fvconst2 5949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
3624, 31, 353eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg
3736sneqd 3829 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg
3837xpeq2d 4904 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
3923, 38eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
40 df-0p 19564 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
4241ex 425 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
4342necon3ad 2639 . . . . . . . . . 10 Poly deg
4417, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 Poly deg
4544eq0rdv 3664 . . . . . . . 8 Poly deg
4645ex 425 . . . . . . 7 Poly deg
47 dgrcl 20154 . . . . . . . . 9 Poly deg
48 nn0ge0 10249 . . . . . . . . 9 deg deg
4919, 47, 483syl 19 . . . . . . . 8 Poly deg
50 id 21 . . . . . . . . . . 11
51 0fin 7338 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl6eqel 2526 . . . . . . . . . 10
5352biantrurd 496 . . . . . . . . 9 deg deg
54 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
55 hash0 11648 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
5756breq1d 4224 . . . . . . . . 9 deg deg
5853, 57bitr3d 248 . . . . . . . 8 deg deg
5949, 58syl5ibrcom 215 . . . . . . 7 Poly deg
6046, 59syld 43 . . . . . 6 Poly deg deg
6160rgen 2773 . . . . 5 Poly deg deg
62 fveq2 5730 . . . . . . . . 9 deg deg
6362eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 deg deg
64 cnveq 5048 . . . . . . . . . . 11
6564imaeq1d 5204 . . . . . . . . . 10
6665eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
6765fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10
6867, 62breq12d 4227 . . . . . . . . 9 deg deg
6966, 68anbi12d 693 . . . . . . . 8 deg deg
7063, 69imbi12d 313 . . . . . . 7 deg deg deg deg
7170cbvralv 2934 . . . . . 6 Poly deg deg Poly deg deg
7249ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg
7372, 58syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
7473a1dd 45 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly deg deg deg
75 n0 3639 . . . . . . . . . . 11
76 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
77 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg
78 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg Poly
79 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg deg
80 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg
81 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg Poly deg deg
8276, 77, 78, 79, 80, 81fta1lem 20226 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg deg deg
8382exp32 590 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg deg deg
8483exlimdv 1647 . . . . . . . . . . 11 Poly deg Poly deg deg deg
8575, 84syl5bi 210 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly deg deg deg
8674, 85pm2.61dne 2683 . . . . . . . . 9 Poly deg Poly deg deg deg
8786ex 425 . . . . . . . 8 Poly deg Poly deg deg deg
8887com23 75 . . . . . . 7 Poly Poly deg deg deg deg
8988ralrimdva 2798 . . . . . 6 Poly deg deg Poly deg deg
9071, 89syl5bi 210 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
916, 9, 12, 15, 61, 90nn0ind 10368 . . . 4 deg Poly deg deg deg
923, 91syl 16 . . 3 Poly Poly deg deg deg
93 plyssc 20121 . . . . 5 Poly Poly
9493sseli 3346 . . . 4 Poly Poly
95 eldifsn 3929 . . . . 5 Poly Poly
96 fveq2 5730 . . . . . . . 8 deg deg
9796eqeq1d 2446 . . . . . . 7 deg deg deg deg
98 cnveq 5048 . . . . . . . . . . 11
9998imaeq1d 5204 . . . . . . . . . 10
100 fta1.1 . . . . . . . . . 10
10199, 100syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9
102101eleq1d 2504 . . . . . . . 8
103101fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
104103, 96breq12d 4227 . . . . . . . 8 deg deg
105102, 104anbi12d 693 . . . . . . 7 deg deg
10697, 105imbi12d 313 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
107106rspcv 3050 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
10895, 107sylbir 206 . . . 4 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
10994, 108sylan 459 . . 3 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
11092, 109mpd 15 . 2 Poly deg deg deg
1111, 110mpi 17 1 Poly deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   cdif 3319  c0 3630  csn 3816   class class class wbr 4214   cxp 4878  ccnv 4879  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cle 9123  cn0 10223  chash 11620  c0p 19563  Polycply 20105  degcdgr 20108 This theorem is referenced by:  vieta1lem2  20230  vieta1  20231  plyexmo  20232  aannenlem1  20247  aalioulem2  20252  basellem4  20868  basellem5  20869  dchrfi  21041 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-0p 19564  df-ply 20109  df-idp 20110  df-coe 20111  df-dgr 20112  df-quot 20210
 Copyright terms: Public domain W3C validator