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Theorem fta1g 20095
Description: The one-sided fundamental theorem of algebra. A polynomial of degree  n has at most  n roots. Unlike the real fundamental theorem fta 20867, which is only true in  CC and other algebraically closed fields, this is true in any integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
fta1g.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
fta1g.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
fta1g.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
fta1g.w  |-  W  =  ( 0g `  R
)
fta1g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
fta1g.1  |-  ( ph  ->  R  e. IDomn )
fta1g.2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
fta1g.3  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
fta1g  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) )

Proof of Theorem fta1g
Dummy variables  f 
d  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( D `
 F )  =  ( D `  F
)
2 fta1g.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
3 fta1g.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. IDomn )
4 isidom 16369 . . . . . . 7  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
54simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  CRing )
6 crngrng 15679 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
73, 5, 63syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 fta1g.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
9 fta1g.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
10 fta1g.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
11 fta1g.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
12 fta1g.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
139, 10, 11, 12deg1nn0cl 20016 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
147, 2, 8, 13syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
15 eqeq2 2447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  0 ) )
1615imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
1716ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
1817imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
19 eqeq2 2447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  d  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  d ) )
2019imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) ) )
2120ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) ) )
2221imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
23 eqeq2 2447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )
2423imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2524ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2625imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
27 eqeq2 2447 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  ( D `  F ) ) )
2827imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2928ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
3029imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
31 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( D `  f )  =  0 )
32 0nn0 10241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
3331, 32syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( D `  f )  e.  NN0 )
345, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  Ring )
35 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 )  -> 
f  e.  B )
369, 10, 11, 12deg1nn0clb 20018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  f  e.  B )  ->  (
f  =/=  .0.  <->  ( D `  f )  e.  NN0 ) )
3734, 35, 36syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( f  =/= 
.0. 
<->  ( D `  f
)  e.  NN0 )
)
3833, 37mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  f  =/=  .0.  )
39 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( D `  f
)  =  0 )
40 0le0 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
4139, 40syl6eqbr 4252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( D `  f
)  <_  0 )
4234ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  R  e.  Ring )
43 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  e.  B )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
459, 10, 12, 44deg1le0 20039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  <_  0  <->  f  =  ( (algSc `  P ) `  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
4642, 43, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( D `  f )  <_  0  <->  f  =  ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
4741, 46mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  =  ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) )
4847fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  f
)  =  ( O `
 ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
495adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  R  e.  CRing )
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  R  e.  CRing )
51 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  f
)  =  (coe1 `  f
)
52 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5351, 12, 10, 52coe1f 16614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  B  ->  (coe1 `  f ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
5443, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
(coe1 `  f ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
55 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (coe1 `  f ) : NN0 --> ( Base `  R
)  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  f ) `  0
)  e.  ( Base `  R ) )
5654, 32, 55sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (coe1 `  f ) ` 
0 )  e.  (
Base `  R )
)
57 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  O  =  (eval1 `  R )
5857, 10, 52, 44evl1sca 19955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(coe1 `  f ) ` 
0 )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( O `  ( (algSc `  P
) `  ( (coe1 `  f ) `  0
) ) )  =  ( ( Base `  R
)  X.  { ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) )
5950, 56, 58syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  (
(algSc `  P ) `  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) ) )  =  ( ( Base `  R )  X.  {
( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) )
6048, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  f
)  =  ( (
Base `  R )  X.  { ( (coe1 `  f
) `  0 ) } ) )
6160fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( O `  f ) `  x
)  =  ( ( ( Base `  R
)  X.  { ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) `
 x ) )
62 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  ^s  ( Base `  R
) )  =  ( R  ^s  ( Base `  R
) )
63 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )
64 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  R  e. IDomn )
65 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Base `  R )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( Base `  R
)  e.  _V )
6757, 10, 62, 52evl1rhm 19954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
6812, 63rhmf 15832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
6949, 67, 683syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
70 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  f  e.  B
)
7169, 70ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( O `  f )  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
7262, 52, 63, 64, 66, 71pwselbas 13716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( O `  f ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  R )
)
73 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  f ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
)  ->  ( O `  f )  Fn  ( Base `  R ) )
74 fniniseg 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  f )  Fn  ( Base `  R
)  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( O `  f ) `  x )  =  W ) ) )
7572, 73, 743syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( O `  f ) `  x )  =  W ) ) )
7675simplbda 609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( O `  f ) `  x
)  =  W )
7775simprbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
78 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (coe1 `  f ) `  0
)  e.  _V
7978fvconst2 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
( Base `  R )  X.  { ( (coe1 `  f
) `  0 ) } ) `  x
)  =  ( (coe1 `  f ) `  0
) )
8077, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( ( Base `  R )  X.  {
( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) `
 x )  =  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) )
8161, 76, 803eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (coe1 `  f ) ` 
0 )  =  W )
8281fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( (coe1 `  f ) `  0
) )  =  ( (algSc `  P ) `  W ) )
83 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  =  ( 0g `  R
)
8410, 44, 83, 11ply1scl0 16686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (algSc `  P ) `  W
)  =  .0.  )
8542, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  W )  =  .0.  )
8647, 82, 853eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  =  .0.  )
8786ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  -> 
f  =  .0.  )
)
8887necon3ad 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( f  =/= 
.0.  ->  -.  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) ) )
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  -.  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )
9089eq0rdv 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( `' ( O `  f )
" { W }
)  =  (/) )
9190fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  ( # `  (/) ) )
92 hash0 11651 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  (/) )  =  0
9391, 92syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  0 )
9440, 31syl5breqr 4251 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  0  <_  ( D `  f )
)
9593, 94eqbrtrd 4235 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )
9695expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  =  0  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
9796ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
98 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( D `  f )  =  ( D `  g ) )
9998eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( D `  f
)  =  d  <->  ( D `  g )  =  d ) )
100 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  ( O `  f )  =  ( O `  g ) )
101100cnveqd 5051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  `' ( O `  f )  =  `' ( O `
 g ) )
102101imaeq1d 5205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )
103102fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  =  (
# `  ( `' ( O `  g )
" { W }
) ) )
104103, 98breq12d 4228 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) )
10599, 104imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) ) ) )
106105cbvralv 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  B  (
( D `  f
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) ) )
107 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) )
108 peano2nn0 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e. 
NN0 )
109108ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( d  +  1 )  e.  NN0 )
110107, 109eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( D `  f )  e.  NN0 )
111110nn0ge0d 10282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( D `  f )
)
112 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  ( # `  (/) ) )
113112, 92syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  0 )
114113breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  0  <_  ( D `  f )
) )
115111, 114syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
116115a1dd 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =  (/)  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
117 n0 3639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( `' ( O `  f )
" { W }
) )
118 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  R  e. IDomn )
119 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  f  e.  B
)
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
121 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
122 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (var1 `  R ) ( -g `  P ) ( (algSc `  P ) `  x
) )  =  ( (var1 `  R ) (
-g `  P )
( (algSc `  P
) `  x )
)
123 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
124 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) )
125 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )
126 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) )
12710, 12, 9, 57, 83, 11, 118, 119, 52, 120, 121, 44, 122, 123, 124, 125, 126fta1glem2 20094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )
128127exp32 590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  -> 
( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
129128exlimdv 1647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( E. x  x  e.  ( `' ( O `  f )
" { W }
)  ->  ( A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
130117, 129syl5bi 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =/=  (/)  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
131116, 130pm2.61dne 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) )  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
132131expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
133132com23 75 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  B )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  (
( D `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) )
134133ralrimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
135106, 134syl5bi 210 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
136135expcom 426 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( R  e. IDomn  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
137136a2d 25 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) )  ->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
13818, 22, 26, 30, 97, 137nn0ind 10371 . . . 4  |-  ( ( D `  F )  e.  NN0  ->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) )
13914, 3, 138sylc 59 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
140 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( D `  f )  =  ( D `  F ) )
141140eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( D `  f
)  =  ( D `
 F )  <->  ( D `  F )  =  ( D `  F ) ) )
142 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( O `  f )  =  ( O `  F ) )
143142cnveqd 5051 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' ( O `  f )  =  `' ( O `
 F ) )
144143imaeq1d 5205 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )
145144fveq2d 5735 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  =  (
# `  ( `' ( O `  F )
" { W }
) ) )
146145, 140breq12d 4228 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) )
147141, 146imbi12d 313 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  F )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  F )
" { W }
) )  <_  ( D `  F )
) ) )
148147rspcv 3050 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  ->  (
( D `  F
)  =  ( D `
 F )  -> 
( # `  ( `' ( O `  F
) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) ) )
1492, 139, 148sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) )
1501, 149mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   #chash 11623   Basecbs 13474    ^s cpws 13675   0gc0g 13728   -gcsg 14693   Ringcrg 15665   CRingccrg 15666   RingHom crh 15822  Domncdomn 16345  IDomncidom 16346  algSccascl 16376  var1cv1 16575  Poly1cpl1 16576  eval1ce1 16578  coe1cco1 16579   deg1 cdg1 19982
This theorem is referenced by:  fta1b  20097  lgsqrlem4  21133  idomrootle  27502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-pws 13678  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-nzr 16334  df-rlreg 16348  df-domn 16349  df-idom 16350  df-assa 16377  df-asp 16378  df-ascl 16379  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-evls 16425  df-evl 16426  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-evl1 16585  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984  df-mon1 20058  df-uc1p 20059  df-q1p 20060  df-r1p 20061
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