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Theorem fta1g 19569
Description: The one-sided fundamental theorem of algebra. A polynomial of degree  n has at most  n roots. Unlike the real fundamental theorem fta 20333, which is only true in  CC and other algebraically closed fields, this is true in any integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
fta1g.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
fta1g.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
fta1g.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
fta1g.w  |-  W  =  ( 0g `  R
)
fta1g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
fta1g.1  |-  ( ph  ->  R  e. IDomn )
fta1g.2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
fta1g.3  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
fta1g  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) )

Proof of Theorem fta1g
Dummy variables  f 
d  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2  |-  ( D `
 F )  =  ( D `  F
)
2 fta1g.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
3 fta1g.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. IDomn )
4 isidom 16061 . . . . . . 7  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
54simplbi 446 . . . . . 6  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  CRing )
6 crngrng 15367 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
73, 5, 63syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 fta1g.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
9 fta1g.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
10 fta1g.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
11 fta1g.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
12 fta1g.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
139, 10, 11, 12deg1nn0cl 19490 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
147, 2, 8, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
15 eqeq2 2305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  0 ) )
1615imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
1716ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
1817imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
19 eqeq2 2305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  d  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  d ) )
2019imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) ) )
2120ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) ) )
2221imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
23 eqeq2 2305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )
2423imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2524ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2625imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
27 eqeq2 2305 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  ( D `  F ) ) )
2827imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2928ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
3029imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
31 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( D `  f )  =  0 )
32 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
3331, 32syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( D `  f )  e.  NN0 )
345, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  Ring )
35 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 )  -> 
f  e.  B )
369, 10, 11, 12deg1nn0clb 19492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  f  e.  B )  ->  (
f  =/=  .0.  <->  ( D `  f )  e.  NN0 ) )
3734, 35, 36syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( f  =/= 
.0. 
<->  ( D `  f
)  e.  NN0 )
)
3833, 37mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  f  =/=  .0.  )
39 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( D `  f
)  =  0 )
40 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
4139, 40syl6eqbr 4076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( D `  f
)  <_  0 )
4234ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  R  e.  Ring )
43 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  e.  B )
44 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
459, 10, 12, 44deg1le0 19513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  <_  0  <->  f  =  ( (algSc `  P ) `  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
4642, 43, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( D `  f )  <_  0  <->  f  =  ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
4741, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  =  ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  f
)  =  ( O `
 ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
495adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  R  e.  CRing )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  R  e.  CRing )
51 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  f
)  =  (coe1 `  f
)
52 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5351, 12, 10, 52coe1f 16308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  B  ->  (coe1 `  f ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
5443, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
(coe1 `  f ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
55 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (coe1 `  f ) : NN0 --> ( Base `  R
)  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  f ) `  0
)  e.  ( Base `  R ) )
5654, 32, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (coe1 `  f ) ` 
0 )  e.  (
Base `  R )
)
57 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  O  =  (eval1 `  R )
5857, 10, 52, 44evl1sca 19429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(coe1 `  f ) ` 
0 )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( O `  ( (algSc `  P
) `  ( (coe1 `  f ) `  0
) ) )  =  ( ( Base `  R
)  X.  { ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) )
5950, 56, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  (
(algSc `  P ) `  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) ) )  =  ( ( Base `  R )  X.  {
( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) )
6048, 59eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  f
)  =  ( (
Base `  R )  X.  { ( (coe1 `  f
) `  0 ) } ) )
6160fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( O `  f ) `  x
)  =  ( ( ( Base `  R
)  X.  { ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) `
 x ) )
62 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  ^s  ( Base `  R
) )  =  ( R  ^s  ( Base `  R
) )
63 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )
64 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  R  e. IDomn )
65 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Base `  R )  e.  _V
6665a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( Base `  R
)  e.  _V )
6757, 10, 62, 52evl1rhm 19428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
6812, 63rhmf 15520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
6949, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
70 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  f  e.  B
)
71 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  /\  f  e.  B
)  ->  ( O `  f )  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( O `  f )  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
7362, 52, 63, 64, 66, 72pwselbas 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( O `  f ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  R )
)
74 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  f ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
)  ->  ( O `  f )  Fn  ( Base `  R ) )
75 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  f )  Fn  ( Base `  R
)  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( O `  f ) `  x )  =  W ) ) )
7673, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( O `  f ) `  x )  =  W ) ) )
7776simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( O `  f ) `  x
)  =  W )
7876simprbda 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
79 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (coe1 `  f ) `  0
)  e.  _V
8079fvconst2 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
( Base `  R )  X.  { ( (coe1 `  f
) `  0 ) } ) `  x
)  =  ( (coe1 `  f ) `  0
) )
8178, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( ( Base `  R )  X.  {
( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) `
 x )  =  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) )
8261, 77, 813eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (coe1 `  f ) ` 
0 )  =  W )
8382fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( (coe1 `  f ) `  0
) )  =  ( (algSc `  P ) `  W ) )
84 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  =  ( 0g `  R
)
8510, 44, 84, 11ply1scl0 16381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (algSc `  P ) `  W
)  =  .0.  )
8642, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  W )  =  .0.  )
8747, 83, 863eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  =  .0.  )
8887ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  -> 
f  =  .0.  )
)
8988necon3ad 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( f  =/= 
.0.  ->  -.  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) ) )
9038, 89mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  -.  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )
9190eq0rdv 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( `' ( O `  f )
" { W }
)  =  (/) )
9291fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  ( # `  (/) ) )
93 hash0 11371 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  (/) )  =  0
9492, 93syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  0 )
9540, 31syl5breqr 4075 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  0  <_  ( D `  f )
)
9694, 95eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )
9796expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  =  0  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
9897ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
99 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( D `  f )  =  ( D `  g ) )
10099eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( D `  f
)  =  d  <->  ( D `  g )  =  d ) )
101 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  ( O `  f )  =  ( O `  g ) )
102101cnveqd 4873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  `' ( O `  f )  =  `' ( O `
 g ) )
103102imaeq1d 5027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )
104103fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  =  (
# `  ( `' ( O `  g )
" { W }
) ) )
105104, 99breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) )
106100, 105imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) ) ) )
107106cbvralv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  B  (
( D `  f
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) ) )
108 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) )
109 peano2nn0 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e. 
NN0 )
110109ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( d  +  1 )  e.  NN0 )
111108, 110eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( D `  f )  e.  NN0 )
112111nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( D `  f )
)
113 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  ( # `  (/) ) )
114113, 93syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  0 )
115114breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  0  <_  ( D `  f )
) )
116112, 115syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
117116a1dd 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =  (/)  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
118 n0 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( `' ( O `  f )
" { W }
) )
119 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  R  e. IDomn )
120 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  f  e.  B
)
121 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
122 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
123 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (var1 `  R ) ( -g `  P ) ( (algSc `  P ) `  x
) )  =  ( (var1 `  R ) (
-g `  P )
( (algSc `  P
) `  x )
)
124 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
125 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) )
126 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )
127 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) )
12810, 12, 9, 57, 84, 11, 119, 120, 52, 121, 122, 44, 123, 124, 125, 126, 127fta1glem2 19568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )
129128exp32 588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  -> 
( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
130129exlimdv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( E. x  x  e.  ( `' ( O `  f )
" { W }
)  ->  ( A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
131118, 130syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =/=  (/)  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
132117, 131pm2.61dne 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) )  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
133132expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
134133com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  B )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  (
( D `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) )
135134ralrimdva 2646 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
136107, 135syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
137136expcom 424 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( R  e. IDomn  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
138137a2d 23 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) )  ->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
13918, 22, 26, 30, 98, 138nn0ind 10124 . . . 4  |-  ( ( D `  F )  e.  NN0  ->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) )
14014, 3, 139sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
141 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( D `  f )  =  ( D `  F ) )
142141eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( D `  f
)  =  ( D `
 F )  <->  ( D `  F )  =  ( D `  F ) ) )
143 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( O `  f )  =  ( O `  F ) )
144143cnveqd 4873 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' ( O `  f )  =  `' ( O `
 F ) )
145144imaeq1d 5027 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )
146145fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  =  (
# `  ( `' ( O `  F )
" { W }
) ) )
147146, 141breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) )
148142, 147imbi12d 311 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  F )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  F )
" { W }
) )  <_  ( D `  F )
) ) )
149148rspcv 2893 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  ->  (
( D `  F
)  =  ( D `
 F )  -> 
( # `  ( `' ( O `  F
) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) ) )
1502, 140, 149sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) )
1511, 150mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884   NN0cn0 9981   #chash 11353   Basecbs 13164    ^s cpws 13363   0gc0g 13416   -gcsg 14381   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   RingHom crh 15510  Domncdomn 16037  IDomncidom 16038  algSccascl 16068  var1cv1 16267  Poly1cpl1 16268  eval1ce1 16270  coe1cco1 16271   deg1 cdg1 19456
This theorem is referenced by:  fta1b  19571  lgsqrlem4  20599  idomrootle  27614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-nzr 16026  df-rlreg 16040  df-domn 16041  df-idom 16042  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117  df-evl 16118  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-vr1 16274  df-ply1 16275  df-evl1 16277  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-mdeg 19457  df-deg1 19458  df-mon1 19532  df-uc1p 19533  df-q1p 19534  df-r1p 19535
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