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Theorem ftalem2 20848
Description: Lemma for fta 20854. There exists some  r such that  F has magnitude greater than  F ( 0 ) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem2.5  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
ftalem2.6  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, A    N, r, s, x    F, r, s, x    ph, s, x    S, s    T, r, x    U, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    T( s)    U( s)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
51coef3 20143 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
74nnnn0d 10266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
86, 7ffvelrnd 5863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  e.  CC )
94nnne0d 10036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
102, 1dgreq0 20175 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
11 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
12 dgr0 20172 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
1311, 12syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
142, 13syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  0 p  ->  N  =  0 )
1510, 14syl6bir 221 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
163, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
189, 17mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
198, 18absrpcld 12242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR+ )
2019rphalfcld 10652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
21 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
2221fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( A `  n ) )  =  ( abs `  ( A `  k )
) )
2322cbvsumv 12482 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)
2423oveq1i 6083 . . 3  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  /  ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
) )
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 20847 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
26 ftalem2.5 . . . . . 6  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
28 plyf 20109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
30 0cn 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
31 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3229, 30, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3332abscld 12230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
3433, 20rerpdivcld 10667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  e.  RR )
3527, 34syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3635adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
37 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  RR )
38 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
39 ifcl 3767 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  e.  RR )
41 ifcl 3767 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4236, 40, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4326, 42syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR )
44 0re 9083 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
4638a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9542 . . . . . . 7  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  <  1 )
49 max1 10765 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
5038, 37, 49sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
51 max1 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
5240, 36, 51syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
5352, 26syl6breqr 4244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  U )
5446, 40, 43, 50, 53letrd 9219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  U )
5545, 46, 43, 48, 54ltletrd 9222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  < 
U )
5643, 55elrpd 10638 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR+ )
57 max2 10767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
5838, 37, 57sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
5937, 40, 43, 58, 53letrd 9219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  U )
6059adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  <_  U )
6137adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  e.  RR )
6243adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  U  e.  RR )
63 abscl 12075 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
6463adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
65 lelttr 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( abs `  x )  e.  RR )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6661, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6760, 66mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  s  <  ( abs `  x ) ) )
6867imim1d 71 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
6929ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F : CC --> CC )
70 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
7169, 70ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
728ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
737ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
7470, 73expcld 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
7572, 74mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
7671, 75subcld 9403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
7776abscld 12230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  e.  RR )
7875abscld 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  RR )
7978rehalfcld 10206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR )
8077, 79, 78ltsub2d 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
8172, 74absmuld 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( abs `  (
x ^ N ) ) ) )
8270, 73absexpd 12246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
x ^ N ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
8382oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( abs `  ( x ^ N
) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
8481, 83eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
8584oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  /  2
) )
8672abscld 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR )
8786recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  CC )
8864adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
8988, 73reexpcld 11532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
9089recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  CC )
91 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  e.  CC )
93 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  =/=  0 )
9587, 90, 92, 94div23d 9819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9685, 95eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9796breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
9878recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
99982halvesd 10205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  +  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
10099oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) ) )
10179recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  CC )
102101, 101pncand 9404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
103100, 102eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
104103breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10580, 97, 1043bitr3d 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10675, 71subcld 9403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
)  e.  CC )
10775, 106abs2difd 12251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) ) )
10875, 71abssubd 12247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )
109108oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) )
11075, 71nncand 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 x ) )
111110fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
112107, 109, 1113brtr3d 4233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
11378, 77resubcld 9457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR )
11471abscld 12230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
115 ltletr 9158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11679, 113, 114, 115syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  < 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
117112, 116mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
118105, 117sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11933ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
12020ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
121120rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR )
122121, 88remulcld 9108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
12396, 79eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  e.  RR )
12436adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
12543adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  e.  RR )
126 max2 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
12740, 36, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
128127, 26syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  U )
129128adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  U )
130 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  <  ( abs `  x
) )
131124, 125, 88, 129, 130lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
13227, 131syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  <  ( abs `  x
) )
133119, 88, 120ltdivmuld 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  <  ( abs `  x )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) ) )
134132, 133mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) )
13588recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
136135exp1d 11510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  =  ( abs `  x
) )
13738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
13854adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  U )
139137, 125, 88, 138, 130lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
140137, 88, 139ltled 9213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
1414ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
142 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
143141, 142syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14488, 140, 143leexp2ad 11547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  <_  ( ( abs `  x ) ^ N
) )
145136, 144eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
14688, 89, 120lemul2d 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N )  <->  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) )  <_  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
147145, 146mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
148119, 122, 123, 134, 147ltletrd 9222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
149148, 96breqtrrd 4230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 ) )
150 lttr 9144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
151119, 79, 114, 150syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
152149, 151mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
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0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
153118, 152syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
154153expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
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 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
155154a2d 24 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
15668, 155syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
157156ralimdva 2776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
158 breq1 4207 . . . . . . 7  |-  ( r  =  U  ->  (
r  <  ( abs `  x )  <->  U  <  ( abs `  x ) ) )
159158imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( r  =  U  ->  (
( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
160159ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( r  =  U  ->  ( A. x  e.  CC  ( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
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161160rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  A. x  e.  CC  ( U  <  ( abs `  x
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( abs `  x
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16256, 157, 161ee12an 1372 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
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163162rexlimdva 2822 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  ( s  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
16425, 163mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   ifcif 3731   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ...cfz 11035   ^cexp 11374   abscabs 12031   sum_csu 12471   0 pc0p 19553  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098
This theorem is referenced by:  fta  20854
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
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