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Theorem ftalem2 20848
 Description: Lemma for fta 20854. There exists some such that has magnitude greater than outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 coeff
ftalem.2 deg
ftalem.3 Poly
ftalem.4
ftalem2.5
ftalem2.6
Assertion
Ref Expression
ftalem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 coeff
2 ftalem.2 . . 3 deg
3 ftalem.3 . . 3 Poly
4 ftalem.4 . . 3
51coef3 20143 . . . . . . 7 Poly
63, 5syl 16 . . . . . 6
74nnnn0d 10266 . . . . . 6
86, 7ffvelrnd 5863 . . . . 5
94nnne0d 10036 . . . . . 6
102, 1dgreq0 20175 . . . . . . . . 9 Poly
11 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11 deg deg
12 dgr0 20172 . . . . . . . . . . 11 deg
1311, 12syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10 deg
142, 13syl5eq 2479 . . . . . . . . 9
1510, 14syl6bir 221 . . . . . . . 8 Poly
163, 15syl 16 . . . . . . 7
1716necon3d 2636 . . . . . 6
189, 17mpd 15 . . . . 5
198, 18absrpcld 12242 . . . 4
2019rphalfcld 10652 . . 3
21 fveq2 5720 . . . . . 6
2221fveq2d 5724 . . . . 5
2322cbvsumv 12482 . . . 4
2423oveq1i 6083 . . 3
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 20847 . 2
26 ftalem2.5 . . . . . 6
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9
28 plyf 20109 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12
30 0cn 9076 . . . . . . . . . . . 12
31 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12
3229, 30, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
3332abscld 12230 . . . . . . . . . 10
3433, 20rerpdivcld 10667 . . . . . . . . 9
3527, 34syl5eqel 2519 . . . . . . . 8
3635adantr 452 . . . . . . 7
37 simpr 448 . . . . . . . 8
38 1re 9082 . . . . . . . 8
39 ifcl 3767 . . . . . . . 8
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . 7
41 ifcl 3767 . . . . . . 7
4236, 40, 41syl2anc 643 . . . . . 6
4326, 42syl5eqel 2519 . . . . 5
44 0re 9083 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
4638a1i 11 . . . . . 6
47 0lt1 9542 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6
49 max1 10765 . . . . . . . 8
5038, 37, 49sylancr 645 . . . . . . 7
51 max1 10765 . . . . . . . . 9
5240, 36, 51syl2anc 643 . . . . . . . 8
5352, 26syl6breqr 4244 . . . . . . 7
5446, 40, 43, 50, 53letrd 9219 . . . . . 6
5545, 46, 43, 48, 54ltletrd 9222 . . . . 5
5643, 55elrpd 10638 . . . 4
57 max2 10767 . . . . . . . . . . 11
5838, 37, 57sylancr 645 . . . . . . . . . 10
5937, 40, 43, 58, 53letrd 9219 . . . . . . . . 9
6059adantr 452 . . . . . . . 8
6137adantr 452 . . . . . . . . 9
6243adantr 452 . . . . . . . . 9
63 abscl 12075 . . . . . . . . . 10
6463adantl 453 . . . . . . . . 9
65 lelttr 9157 . . . . . . . . 9
6661, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . . . . . . 8
6760, 66mpand 657 . . . . . . 7
6867imim1d 71 . . . . . 6
6929ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
7169, 70ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14
728ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
737ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7470, 73expcld 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15
7572, 74mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . 14
7671, 75subcld 9403 . . . . . . . . . . . . 13
7776abscld 12230 . . . . . . . . . . . 12
7875abscld 12230 . . . . . . . . . . . . 13
7978rehalfcld 10206 . . . . . . . . . . . 12
8077, 79, 78ltsub2d 9628 . . . . . . . . . . 11
8172, 74absmuld 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15
8270, 73absexpd 12246 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
8481, 83eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
8584oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13
8672abscld 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
8864adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988, 73reexpcld 11532 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
91 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
93 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9587, 90, 92, 94div23d 9819 . . . . . . . . . . . . 13
9685, 95eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12
9796breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11
9878recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15
99982halvesd 10205 . . . . . . . . . . . . . 14
10099oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13
10179recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
102101, 101pncand 9404 . . . . . . . . . . . . 13
103100, 102eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . 12
104103breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11
10580, 97, 1043bitr3d 275 . . . . . . . . . 10
10675, 71subcld 9403 . . . . . . . . . . . . 13
10775, 106abs2difd 12251 . . . . . . . . . . . 12
10875, 71abssubd 12247 . . . . . . . . . . . . 13
109108oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
11075, 71nncand 9408 . . . . . . . . . . . . 13
111110fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
112107, 109, 1113brtr3d 4233 . . . . . . . . . . 11
11378, 77resubcld 9457 . . . . . . . . . . . 12
11471abscld 12230 . . . . . . . . . . . 12
115 ltletr 9158 . . . . . . . . . . . 12
11679, 113, 114, 115syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
117112, 116mpan2d 656 . . . . . . . . . 10
118105, 117sylbid 207 . . . . . . . . 9
11933ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
12020ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
121120rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13
122121, 88remulcld 9108 . . . . . . . . . . . 12
12396, 79eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12
12436adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
12543adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 max2 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12740, 36, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128127, 26syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
130 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
131124, 125, 88, 129, 130lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . . . 14
13227, 131syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . 13
133119, 88, 120ltdivmuld 10687 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 133mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
13588recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135exp1d 11510 . . . . . . . . . . . . . 14
13738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13854adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139137, 125, 88, 138, 130lelttrd 9220 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140137, 88, 139ltled 9213 . . . . . . . . . . . . . . 15
1414ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143141, 142syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15
14488, 140, 143leexp2ad 11547 . . . . . . . . . . . . . 14
145136, 144eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . 13
14688, 89, 120lemul2d 10680 . . . . . . . . . . . . 13
147145, 146mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
148119, 122, 123, 134, 147ltletrd 9222 . . . . . . . . . . 11
149148, 96breqtrrd 4230 . . . . . . . . . 10
150 lttr 9144 . . . . . . . . . . 11
151119, 79, 114, 150syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
152149, 151mpand 657 . . . . . . . . 9
153118, 152syld 42 . . . . . . . 8
154153expr 599 . . . . . . 7
155154a2d 24 . . . . . 6
15668, 155syld 42 . . . . 5
157156ralimdva 2776 . . . 4
158 breq1 4207 . . . . . . 7
159158imbi1d 309 . . . . . 6
160159ralbidv 2717 . . . . 5
161160rspcev 3044 . . . 4
16256, 157, 161ee12an 1372 . . 3
163162rexlimdva 2822 . 2
16425, 163mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cif 3731   class class class wbr 4204  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cuz 10480  crp 10604  cfz 11035  cexp 11374  cabs 12031  csu 12471  c0p 19553  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098 This theorem is referenced by:  fta  20854 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102
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