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Theorem ftalem3 20312
Description: Lemma for fta 20317. There exists a global minimum of the function  abs  o.  F. The proof uses a circle of radius  r where  r is the value coming from ftalem1 20310; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem3.5  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
ftalem3.6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
ftalem3.7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftalem3.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, z, D    x, N    x, y, F, z    x, J, z    ph, x, y, z    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( y, z)    D( y)    R( z)    S( x, y, z)    J( y)    N( y, z)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
2 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { y  e.  CC  |  ( abs `  y )  <_  R }  C_  CC
31, 2eqsstri 3208 . . 3  |-  D  C_  CC
4 ftalem3.6 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 18292 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
6 resttopon 16892 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
75, 3, 6mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
87toponunii 16670 . . . . 5  |-  D  = 
U. ( Jt  D )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
10 cnxmet 18282 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
12 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
14 ftalem3.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpxrd 10391 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
164cnfldtopn 18291 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1817cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )
1912, 18mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) ) )
20 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
2120fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) )
22 absneg 11762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  y
) )
2321, 22syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  =  ( abs `  y
) )
2419, 23eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  y
) )
2524breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  <_  R  <->  ( abs `  y )  <_  R
) )
2625rabbiia 2778 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  ) y )  <_  R }  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
271, 26eqtr4i 2306 . . . . . . . 8  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  )
y )  <_  R }
2816, 27blcld 18051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  D  e.  ( Clsd `  J
) )
2911, 13, 15, 28syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
3014rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
3231breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3332, 1elrab2 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  <_  R
) )
3433simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( abs `  x )  <_  R )
3534rgen 2608 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
36 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
( abs `  x
)  <_  s  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3736ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  R  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s  <->  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
) )
3837rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
3930, 35, 38sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
40 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  D )  =  ( Jt  D )
414, 40cnheibor 18453 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) ) )
423, 41ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) )
4329, 39, 42sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
44 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
45 plycn 19642 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
47 abscncf 18405 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
4847a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
4946, 48cncfco 18411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
50 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
51 ax-resscn 8794 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
524cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
535toponunii 16670 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. J
5453restid 13338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
5552, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  CC )  =  J
5655eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Jt  CC )
574tgioo2 18309 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
584, 56, 57cncfcn 18413 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
5950, 51, 58mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6049, 59syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6153cnrest 17013 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  F
)  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6260, 3, 61sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  F )  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
6314rpge0d 10394 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
64 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  0
) )
65 abs0 11770 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
6664, 65syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  0 )
6766breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  0  <_  R ) )
6867, 1elrab2 2925 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  0  <_  R ) )
6913, 63, 68sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  D )
70 ne0i 3461 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
7169, 70syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
728, 9, 43, 62, 71evth2 18458 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x ) )
73 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
7473ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
75 plyf 19580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
7644, 75syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  F : CC --> CC )
78 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  D )
793, 78sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  CC )
80 fvco3 5596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  =  ( abs `  ( F `  z
) ) )
8177, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
8274, 81eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
83 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
8483adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
85 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
863, 85sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
87 fvco3 5596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  x
)  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
8877, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
8984, 88eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
9082, 89breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9190ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9291rexbidva 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs  o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9372, 92mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
94 ssrexv 3238 . . 3  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
953, 93, 94mpsyl 59 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
9669adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  D )
97 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
9897fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
9998breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10099rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10196, 100syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10276ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  F : CC --> CC )
103 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
104102, 12, 103sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
105104abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  e.  RR )
106 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  ( CC  \  D
) )
107 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( CC  \  D )  <->  ( x  e.  CC  /\  -.  x  e.  D ) )
108106, 107sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  -.  x  e.  D
) )
109108simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  CC )
110 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
111102, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
112111abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
113 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
114113ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  A. x  e.  CC  ( R  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
115108simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  x  e.  D )
11633baib 871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
117109, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
118115, 117mtbid 291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  ( abs `  x )  <_  R )
11930ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  e.  RR )
120109abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
121119, 120ltnled 8966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  <->  -.  ( abs `  x )  <_  R
) )
122118, 121mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  <  ( abs `  x
) )
123 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
124114, 109, 122, 123syl3c 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) )
125105, 112, 124ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  z  e.  CC )
127 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
128102, 126, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
129128abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
130 letr 8914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
131129, 105, 112, 130syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
132125, 131mpan2d 655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
133132ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  0 )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
134101, 133syld 40 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
135134ancld 536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
136 ralunb 3356 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
137 undif2 3530 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  ( D  u.  CC )
138 ssequn1 3345 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  CC  <->  ( D  u.  CC )  =  CC )
1393, 138mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  CC )  =  CC
140137, 139eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  CC
141140raleqi 2740 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
142136, 141bitr3i 242 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
143135, 142syl6ib 217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
144143reximdva 2655 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
14595, 144mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Compccmp 17113   -cn->ccncf 18380  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  fta  20317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
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