MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Unicode version

Theorem ftalem4 20848
Description: Lemma for fta 20852: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 20849. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
ftalem4.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem4  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, K, n    k, N, n    k, F, n    ph, k    S, k    T, k    k, X, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    T( n)    U( k, n)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
2 ssrab2 3420 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
3 nnuz 10511 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3372 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
5 ftalem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnne0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  F )
9 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (coeff `  F )
108, 9dgreq0 20173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
12 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
13 dgr0 20170 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
1412, 13syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
158, 14syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0 p  ->  N  =  0 )
1611, 15syl6bir 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2636 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
186, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
19 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2019neeq1d 2611 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
2120elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
225, 18, 21sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
23 ne0i 3626 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
25 infmssuzcl 10549 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
264, 24, 25sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
271, 26syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
28 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  ( A `  n )  =  ( A `  K ) )
2928neeq1d 2611 . . . 4  |-  ( n  =  K  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  K )  =/=  0 ) )
3029elrab 3084 . . 3  |-  ( K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 ) )
3127, 30sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
32 ftalem4.7 . . . 4  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
33 plyf 20107 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
347, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
35 0cn 9074 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
36 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3734, 35, 36sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
389coef3 20141 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
397, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4031simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
4140nnnn0d 10264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
4239, 41ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
4331simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
4437, 42, 43divcld 9780 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
4544negcld 9388 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
4640nnrecred 10035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
4746recnd 9104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
4845, 47cxpcld 20589 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )  e.  CC )
4932, 48syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
50 ftalem4.8 . . . 4  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
51 ftalem4.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
5237, 51absrpcld 12240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR+ )
53 fzfid 11302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
54 peano2nn0 10250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
56 elfzuz 11045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
57 eluznn0 10536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
5855, 56, 57syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
5939ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6058, 59syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
61 expcl 11389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
6249, 61sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6358, 62syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6460, 63mulcld 9098 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
6564abscld 12228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
6653, 65fsumrecl 12518 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
6764absge0d 12236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6853, 65, 67fsumge0 12564 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6966, 68ge0p1rpd 10664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
7052, 69rpdivcld 10655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
7150, 70syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
72 ftalem4.9 . . . 4  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
73 1rp 10606 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
74 ifcl 3767 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U
)  e.  RR+ )
7573, 71, 74sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  e.  RR+ )
7672, 75syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
7749, 71, 763jca 1134 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
7831, 77jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    < clt 9110    <_ cle 9111   -ucneg 9282    / cdiv 9667   NNcn 9990   NN0cn0 10211   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   ...cfz 11033   ^cexp 11372   abscabs 12029   sum_csu 12469   0 pc0p 19551  Polycply 20093  coeffccoe 20095  degcdgr 20096    ^ c ccxp 20443
This theorem is referenced by:  ftalem5  20849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-0p 19552  df-limc 19743  df-dv 19744  df-ply 20097  df-coe 20099  df-dgr 20100  df-log 20444  df-cxp 20445
  Copyright terms: Public domain W3C validator