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Theorem ftalem5 20816
Description: Lemma for fta 20819: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 20814 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let  K be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let  T be a  K-th root of  -u F ( 0 )  /  A
( K ). Then an evaluation of  F ( T X ) where  X is a sufficiently small positive number yields  F ( 0 ) for the first term and 
-u F ( 0 )  x.  X ^ K for the  K-th term, and all higher terms are bounded because  X is small. Thus,  abs ( F ( T X ) )  <_  abs ( F ( 0 ) ) ( 1  -  X ^ K )  <  abs ( F ( 0 ) ), in contradiction to our choice of  F ( 0 ) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
ftalem4.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 x ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
Distinct variable groups:    k, n, x, A    k, K, n   
k, N, n, x   
k, F, n, x    ph, k, x    S, k    T, k, x    x, U   
k, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( x, n)    T( n)    U( k, n)    K( x)

Proof of Theorem ftalem5
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . . . . 6  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . . . . 6  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 ftalem4.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
6 ftalem4.6 . . . . . 6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
7 ftalem4.7 . . . . . 6  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
8 ftalem4.8 . . . . . 6  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
9 ftalem4.9 . . . . . 6  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftalem4 20815 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
1110simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
1211simp1d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1311simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
1413rpred 10608 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1514recnd 9074 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1612, 15mulcld 9068 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  x.  X
)  e.  CC )
17 plyf 20074 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
183, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
1918, 16ffvelrnd 5834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  e.  CC )
2019abscld 12197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  e.  RR )
21 0cn 9044 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
22 ffvelrn 5831 . . . . . . 7  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
2318, 21, 22sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
2423abscld 12197 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
2510simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
2625simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2726nnnn0d 10234 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2814, 27reexpcld 11499 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  RR )
2924, 28remulcld 9076 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) )  e.  RR )
3024, 29resubcld 9425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  e.  RR )
31 fzfid 11271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
32 peano2nn0 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
3327, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
34 elfzuz 11015 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
35 eluznn0 10506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
3633, 34, 35syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
371coef3 20108 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
383, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
39 ffvelrn 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
4038, 39sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
4136, 40syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
4216adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T  x.  X )  e.  CC )
4342, 36expcld 11482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
4441, 43mulcld 9068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
4531, 44fsumcl 12486 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  e.  CC )
4645abscld 12197 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  e.  RR )
4730, 46readdcld 9075 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  e.  RR )
48 fzfid 11271 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... K
)  e.  Fin )
49 elfznn0 11043 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
5038, 49, 39syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
51 expcl 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  x.  X
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( T  x.  X ) ^ k
)  e.  CC )
5216, 49, 51syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
5350, 52mulcld 9068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
5448, 53fsumcl 12486 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  e.  CC )
5554, 45abstrid 12217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
561, 2coeid2 20115 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( T  x.  X )  e.  CC )  ->  ( F `  ( T  x.  X ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) )
573, 16, 56syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )
5826nnred 9975 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
5958ltp1d 9901 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
60 fzdisj 11038 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  ( K  + 
1 )  ->  (
( 0 ... K
)  i^i  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... K )  i^i  (
( K  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
62 ssrab2 3392 . . . . . . . . . . . 12  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
63 nnuz 10481 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6462, 63sseqtri 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
654nnne0d 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
662, 1dgreq0 20140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
673, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
68 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
69 dgr0 20137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
7068, 69syl6eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
712, 70syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  0 p  ->  N  =  0 )
7267, 71syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
7372necon3d 2609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
7465, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
75 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7675neeq1d 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
7776elrab 3056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
784, 74, 77sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
79 infmssuzle 10518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  N  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
8064, 78, 79sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
816, 80syl5eqbr 4209 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
82 nn0uz 10480 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8327, 82syl6eleq 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
844nnzd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
85 elfz5 11011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
8683, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
K  <_  N )
)
8781, 86mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
88 fzsplit 11037 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... K )  u.  (
( K  +  1 ) ... N ) ) )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... K )  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
90 fzfid 11271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
91 elfznn0 11043 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
9238, 91, 39syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
9316, 91, 51syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
9492, 93mulcld 9068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
9561, 89, 90, 94fsumsplit 12492 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
9657, 95eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
9796fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
981coefv0 20123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F `  0 )  =  ( A `  0
) )
993, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
10099eqcomd 2413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
10116exp0d 11476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  X ) ^ 0 )  =  1 )
102100, 101oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  x.  (
( T  x.  X
) ^ 0 ) )  =  ( ( F `  0 )  x.  1 ) )
10323mulid1d 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  1 )  =  ( F `
 0 ) )
104102, 103eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  x.  (
( T  x.  X
) ^ 0 ) )  =  ( F `
 0 ) )
105 1e0p1 10370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
106105oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... K )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K
)
107106sumeq1i 12451 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... K
) ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )
10826, 63syl6eleq 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
109 elfznn 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... K )  ->  k  e.  NN )
110109nnnn0d 10234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
11138, 110, 39syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11216, 110, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
113111, 112mulcld 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
114 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
115 oveq2 6052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T  x.  X ) ^ K ) )
116114, 115oveq12d 6062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) )
117108, 113, 116fsumm1 12496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) ) )
118107, 117syl5eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) ) )
119 elfznn 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
120119adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
121120nnred 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
12258adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
123 peano2rem 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
125 elfzle2 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
126125adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
127122ltm1d 9903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  <  K )
128121, 124, 122, 126, 127lelttrd 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  K )
129121, 122ltnled 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  K  <->  -.  K  <_  k ) )
130128, 129mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  K  <_  k )
131 infmssuzle 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k
)
1326, 131syl5eqbr 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  K  <_  k )
13364, 132mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  K  <_  k )
134130, 133nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
135 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
136135neeq1d 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  k )  =/=  0 ) )
137136elrab3 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( A `  k )  =/=  0
) )
138120, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( A `  k )  =/=  0
) )
139138necon2bbid 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  =  0  <->  -.  k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ) )
140134, 139mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
141140oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )
142119nnnn0d 10234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
14316, 142, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
144143mul02d 9224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  0 )
145141, 144eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  0 )
146145sumeq2dv 12456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0 )
147 fzfi 11270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin
148147olci 381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )
149 sumz 12475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... ( K  -  1 ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0  =  0 )
150148, 149ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0  =  0
151146, 150syl6eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  0 )
15212, 15, 27mulexpd 11497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  X ) ^ K
)  =  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K ) ) )
153152oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  ( ( A `  K )  x.  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
15438, 27ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
15512, 27expcld 11482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ^ K
)  e.  CC )
15628recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  CC )
157154, 155, 156mulassd 9071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 K )  x.  ( T ^ K
) )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K ) ) ) )
158153, 157eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  ( ( ( A `  K
)  x.  ( T ^ K ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
1597oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T ^ K )  =  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) ) ^ K )
16058recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
16126nnne0d 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
162160, 161recid2d 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  K )  x.  K
)  =  1 )
163162oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( ( 1  /  K )  x.  K ) )  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  1 ) )
16425simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
16523, 154, 164divcld 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
166165negcld 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
16726nnrecred 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
168167recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
169166, 168, 27cxpmul2d 20557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( ( 1  /  K )  x.  K ) )  =  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) ) ^ K ) )
170166cxp1d 20554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  1 )  = 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) ) )
171163, 169, 1703eqtr3d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) ) ^ K )  = 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) ) )
172159, 171syl5eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T ^ K
)  =  -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )
173172oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  ( T ^ K ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  -u ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
) ) )
174154, 165mulneg2d 9447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )  =  -u (
( A `  K
)  x.  ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) ) ) )
17523, 154, 164divcan2d 9752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )  =  ( F `
 0 ) )
176175negeqd 9260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( A `
 K )  x.  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
) )  =  -u ( F `  0 ) )
177173, 174, 1763eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  ( T ^ K ) )  =  -u ( F ` 
0 ) )
178177oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 K )  x.  ( T ^ K
) )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( -u ( F `  0 )  x.  ( X ^ K
) ) )
17923, 156mulneg1d 9446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) )  =  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )
180158, 178, 1793eqtrd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
181151, 180oveq12d 6062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  +  ( ( A `  K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K ) ) )  =  ( 0  + 
-u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
18223, 156mulcld 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) )  e.  CC )
183182negcld 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) )  e.  CC )
184183addid2d 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
185118, 181, 1843eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
186104, 185oveq12d 6062 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 0 )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  =  ( ( F `  0 )  +  -u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
187 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A `  k )  =  ( A ` 
0 ) )
188 oveq2 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T  x.  X ) ^
0 ) )
189187, 188oveq12d 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) ) )
19083, 53, 189fsum1p 12498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( ( ( A `  0
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
191103oveq1d 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 0 )  x.  1 )  -  (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
192 ax-1cn 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
193192a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
19423, 193, 156subdid 9449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( ( F `  0
)  x.  1 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
19523, 182negsubd 9377 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
196191, 194, 1953eqtr4d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  +  -u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
197186, 190, 1963eqtr4d 2450 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( ( F `  0 )  x.  ( 1  -  ( X ^ K
) ) ) )
198197fveq2d 5695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) ) ) )
199 1re 9050 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
200 resubcl 9325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X ^ K )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  RR )
201199, 28, 200sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  RR )
202201recnd 9074 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  CC )
20323, 202absmuld 12215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( F `  0
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( abs `  (
1  -  ( X ^ K ) ) ) ) )
20413rpge0d 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
20511simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
206205rpred 10608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
207 min1 10736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  1
)
208199, 206, 207sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  1
)
2099, 208syl5eqbr 4209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  <_  1 )
210 exple1 11398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( X ^ K
)  <_  1 )
21114, 204, 209, 27, 210syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  <_  1 )
212 subge0 9501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X ^ K )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( X ^ K ) )  <-> 
( X ^ K
)  <_  1 ) )
213199, 28, 212sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( X ^ K ) )  <-> 
( X ^ K
)  <_  1 ) )
214211, 213mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )
215201, 214absidd 12184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )
216215oveq2d 6060 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( abs `  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )
21724recnd 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  CC )
218217, 193, 156subdid 9449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  1 )  -  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) ) )
219217mulid1d 9065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
220219oveq1d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  1 )  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) ) )
221216, 218, 2203eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( abs `  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) ) )
222198, 203, 2213eqtrrd 2445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) )
223222oveq1d 6059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
22455, 97, 2233brtr4d 4206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  <_  ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
22544abscld 12197 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  e.  RR )
22631, 225fsumrecl 12487 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  e.  RR )
22731, 44fsumabs 12539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) )
228 expcl 11358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
22912, 228sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
23036, 229syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
23141, 230mulcld 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
232231abscld 12197 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
23331, 232fsumrecl 12487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
23414, 33reexpcld 11499 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  e.  RR )
235233, 234remulcld 9076 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
236234adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ ( K  + 
1 ) )  e.  RR )
237232, 236remulcld 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
23812adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  T  e.  CC )
23915adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  e.  CC )
240238, 239, 36mulexpd 11497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T ^ k )  x.  ( X ^ k
) ) )
241240oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T ^
k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
24214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  e.  RR )
243242, 36reexpcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  RR )
244243recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
24541, 230, 244mulassd 9071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( A `  k )  x.  (
( T ^ k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )
246241, 245eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
247246fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
248231, 244absmuld 12215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ k
) ) ) )
249 elfzelz 11019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
250 rpexpcl 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( X ^ k )  e.  RR+ )
25113, 249, 250syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  RR+ )
252251rpge0d 10612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( X ^ k
) )
253243, 252absidd 12184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( X ^
k ) )  =  ( X ^ k
) )
254253oveq2d 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
255247, 248, 2543eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
256231absge0d 12205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
25733adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
25834adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
259204adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  X )
260209adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  <_  1 )
261242, 257, 258, 259, 260leexp2rd 11515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  <_ 
( X ^ ( K  +  1 ) ) )
262243, 236, 232, 256, 261lemul2ad 9911 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
263255, 262eqbrtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
26431, 225, 237, 263fsumle 12537 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
265234recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  e.  CC )
266232recnd 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  CC )
26731, 265, 266fsummulc1 12527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
268264, 267breqtrrd 4202 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  x.  ( X ^
( K  +  1 ) ) ) )
26915, 27expp1d 11483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  =  ( ( X ^ K )  x.  X ) )
270156, 15mulcomd 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^ K )  x.  X
)  =  ( X  x.  ( X ^ K ) ) )
271269, 270eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  =  ( X  x.  ( X ^ K ) ) )
272271oveq2d 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ K ) ) ) )
273233recnd 9074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  CC )
274273, 15, 156mulassd 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ K ) ) ) )
275272, 274eqtr4d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K
) ) )
276233, 14remulcld 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  e.  RR )
277 nnssz 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ZZ
27862, 277sstri 3321 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ZZ
279 ne0i 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
28078, 279syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
281 infmssuzcl 10519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
28264, 280, 281sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
2836, 282syl5eqel 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
284278, 283sseldi 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
28513, 284rpexpcld 11505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  RR+ )
286 peano2re 9199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  e.  RR  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  e.  RR )
287233, 286syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR )
288287, 14remulcld 9076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  e.  RR )
289233ltp1d 9901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
290233, 287, 13, 289ltmul1dd 10659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  <  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  x.  X ) )
291 min2 10737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  U
)
292199, 206, 291sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  U
)
2939, 292syl5eqbr 4209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
294293, 8syl6breq 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( abs `  ( F ` 
0 ) )  / 
( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) )
295 0re 9051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
296295a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
29731, 232, 256fsumge0 12533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
298296, 233, 287, 297, 289lelttrd 9188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
299 lemuldiv2 9850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  (
( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_ 
( abs `  ( F `  0 )
)  <->  X  <_  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) ) )
30014, 24, 287, 298, 299syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <->  X  <_  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) ) ) )
301294, 300mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_ 
( abs `  ( F `  0 )
) )
302276, 288, 24, 290, 301ltletrd 9190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
303276, 24, 285, 302ltmul1dd 10659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K ) )  < 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )
304275, 303eqbrtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )
305226, 235, 29, 268, 304lelttrd 9188 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
30646, 226, 29, 227, 305lelttrd 9188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
30746, 29, 24, 306ltsub2dd 9599 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
30830, 46, 24ltaddsubd 9586 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  < 
( abs `  ( F `  0 )
)  <->  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) ) ) )
309307, 308mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  < 
( abs `  ( F `  0 )
) )
31020, 47, 24, 224, 309lelttrd 9188 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
311 fveq2 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( T  x.  X
) ) )
312311fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) ) )
313312breq1d 4186 . . 3  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <  ( abs `  ( F `  0
) )  <->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X )
) )  <  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
314313rspcev 3016 . 2  |-  ( ( ( T  x.  X
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 ( T  x.  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  x )
)  <  ( abs `  ( F `  0
) ) )
31516, 310, 314syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 x ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   E.wrex 2671   {crab 2674    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ifcif 3703   class class class wbr 4176   `'ccnv 4840   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   supcsup 7407   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   -ucneg 9252    / cdiv 9637   NNcn 9960   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572   ...cfz 11003   ^cexp 11341   abscabs 11998   sum_csu 12438   0 pc0p 19518  Polycply 20060  coeffccoe 20062  degcdgr 20063    ^ c ccxp 20410
This theorem is referenced by:  ftalem6  20817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-0p 19519  df-limc 19710  df-dv 19711  df-ply 20064  df-coe 20066  df-dgr 20067  df-log 20411  df-cxp 20412
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