MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem7 Structured version   Unicode version

Theorem ftalem7 20861
Description: Lemma for fta 20862. Shift the minimum away from zero by a change of variables. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem7.5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
ftalem7.6  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
ftalem7  |-  ( ph  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, F    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem ftalem7
Dummy variables  z  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . 4  |-  (coeff `  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) )  =  (coeff `  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  (deg `  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) )  =  (deg
`  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) )
3 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
4 ftalem7.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
63, 5addcld 9107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  +  X )  e.  CC )
7 cnex 9071 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
94negcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  CC )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  -u X  e.  CC )
11 df-idp 20108 . . . . . . . . . 10  |-  X p  =  (  _I  |`  CC )
12 mptresid 5195 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  |->  z )  =  (  _I  |`  CC )
1311, 12eqtr4i 2459 . . . . . . . . 9  |-  X p  =  ( z  e.  CC  |->  z )
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X p  =  ( z  e.  CC  |->  z ) )
15 fconstmpt 4921 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
X.  { -u X } )  =  ( z  e.  CC  |->  -u X )
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { -u X } )  =  ( z  e.  CC  |->  -u X ) )
178, 3, 10, 14, 16offval2 6322 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  -u X
) ) )
18 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  z  e.  CC )
19 subneg 9350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( z  -  -u X
)  =  ( z  +  X ) )
2018, 4, 19syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  -u X )  =  ( z  +  X
) )
2120mpteq2dva 4295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  -u X
) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  +  X ) ) )
2217, 21eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  +  X ) ) )
23 ftalem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
24 plyf 20117 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
2625feqmptd 5779 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
27 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( z  +  X )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( z  +  X
) ) )
286, 22, 26, 27fmptco 5901 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) )
29 plyssc 20119 . . . . . . 7  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
3029, 23sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
31 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) )  =  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) )
3231plyremlem 20221 . . . . . . . 8  |-  ( -u X  e.  CC  ->  ( ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) )  =  1  /\  ( `' ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) " {
0 } )  =  { -u X }
) )
339, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) )  =  1  /\  ( `' ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) " { 0 } )  =  { -u X } ) )
3433simp1d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) )  e.  (Poly `  CC ) )
35 addcl 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
3635adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  +  w
)  e.  CC )
37 mulcl 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
3837adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  x.  w
)  e.  CC )
3930, 34, 36, 38plyco 20160 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
4028, 39eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
4128fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) ) )  =  (deg `  (
z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) ) )
42 ftalem.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (deg `  F )
43 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) )  =  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) )
4442, 43, 30, 34dgrco 20193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) ) )  =  ( N  x.  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) ) ) )
45 ftalem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4633simp2d 970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) )  =  1 )
47 1nn 10011 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
4846, 47syl6eqel 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X } ) ) )  e.  NN )
4945, 48nnmulcld 10047 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (deg `  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) ) )  e.  NN )
5044, 49eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  ( X p  o F  -  ( CC  X.  { -u X }
) ) ) )  e.  NN )
5141, 50eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) )  e.  NN )
52 0cn 9084 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
53 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  0  ->  (
z  +  X )  =  ( 0  +  X ) )
5453fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  ( F `  ( z  +  X ) )  =  ( F `  (
0  +  X ) ) )
55 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  |->  ( F `
 ( z  +  X ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) )
56 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( 0  +  X ) )  e. 
_V
5754, 55, 56fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  0 )  =  ( F `  ( 0  +  X
) ) )
5852, 57ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  0 )  =  ( F `  ( 0  +  X
) )
594addid2d 9267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  X
)  =  X )
6059fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (
0  +  X ) )  =  ( F `
 X ) )
6158, 60syl5eq 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 )  =  ( F `  X ) )
62 ftalem7.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =/=  0 )
6361, 62eqnetrd 2619 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 )  =/=  0
)
641, 2, 40, 51, 63ftalem6 20860 . . 3  |-  ( ph  ->  E. y  e.  CC  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y ) )  <  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) ) )
65 id 20 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
66 addcl 9072 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( y  +  X
)  e.  CC )
6765, 4, 66syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y  +  X )  e.  CC )
68 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +  X )  =  ( y  +  X ) )
6968fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  ( z  +  X ) )  =  ( F `  (
y  +  X ) ) )
70 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 ( y  +  X ) )  e. 
_V
7169, 55, 70fvmpt 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  X
) ) )
7271adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y )  =  ( F `  ( y  +  X
) ) )
7372fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  ( y  +  X ) ) ) )
7461adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  0 )  =  ( F `  X ) )
7574fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) )  =  ( abs `  ( F `  X )
) )
7673, 75breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y ) )  <  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
y  +  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  X ) ) ) )
7725adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  F : CC
--> CC )
7877, 67ffvelrnd 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `
 ( y  +  X ) )  e.  CC )
7978abscld 12238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  (
y  +  X ) ) )  e.  RR )
8025, 4ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
8180abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  X )
)  e.  RR )
8281adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  ( F `  X
) )  e.  RR )
8379, 82ltnled 9220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `
 ( y  +  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  X )
)  <->  -.  ( abs `  ( F `  X
) )  <_  ( abs `  ( F `  ( y  +  X
) ) ) ) )
8476, 83bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y ) )  <  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  X ) )  <_ 
( abs `  ( F `  ( y  +  X ) ) ) ) )
8584biimpd 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y ) )  <  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) )  ->  -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
y  +  X ) ) ) ) )
86 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y  +  X
) ) )
8786fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  ( y  +  X ) ) ) )
8887breq2d 4224 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  X )  ->  (
( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  <->  ( abs `  ( F `  X
) )  <_  ( abs `  ( F `  ( y  +  X
) ) ) ) )
8988notbid 286 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  X )  ->  ( -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  <->  -.  ( abs `  ( F `  X ) )  <_ 
( abs `  ( F `  ( y  +  X ) ) ) ) )
9089rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( y  +  X
)  e.  CC  /\  -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
y  +  X ) ) ) )  ->  E. x  e.  CC  -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
9167, 85, 90ee12an 1372 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y ) )  <  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) )  ->  E. x  e.  CC  -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
9291rexlimdva 2830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  CC  ( abs `  (
( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X ) ) ) `  y ) )  <  ( abs `  ( ( z  e.  CC  |->  ( F `  ( z  +  X
) ) ) ` 
0 ) )  ->  E. x  e.  CC  -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
9364, 92mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  -.  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
94 rexnal 2716 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  -.  ( abs `  ( F `
 X ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  <->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
9593, 94sylib 189 1  |-  ( ph  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  X )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    _I cid 4493    X. cxp 4876   `'ccnv 4877    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   NNcn 10000   abscabs 12039  Polycply 20103   X pcidp 20104  coeffccoe 20105  degcdgr 20106
This theorem is referenced by:  fta  20862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754  df-ply 20107  df-idp 20108  df-coe 20109  df-dgr 20110  df-log 20454  df-cxp 20455
  Copyright terms: Public domain W3C validator