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Theorem ftc1anclem3 26296
Description: Lemma for ftc1anc 26302- the absolute value of the sum of a simple function and  _i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( F  o F  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  o F  x.  G ) ) )  e.  dom  S.1 )

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 19571 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
21ffvelrnda 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
3 i1ff 19571 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
43ffvelrnda 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
5 absreim 12103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  +  ( _i  x.  ( G `  x ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( F `
 x ) ^
2 )  +  ( ( G `  x
) ^ 2 ) ) ) )
62, 4, 5syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  x  e.  RR )  /\  ( G  e. 
dom  S.1  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  +  ( _i  x.  ( G `  x ) ) ) )  =  ( sqr `  ( ( ( F `
 x ) ^
2 )  +  ( ( G `  x
) ^ 2 ) ) ) )
76anandirs 806 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  +  ( _i  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( sqr `  (
( ( F `  x ) ^ 2 )  +  ( ( G `  x ) ^ 2 ) ) ) )
82recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
98sqvald 11525 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x ) ^
2 )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 x ) ) )
104recnd 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
1110sqvald 11525 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `
 x ) ^
2 )  =  ( ( G `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )
129, 11oveqan12d 6103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  x  e.  RR )  /\  ( G  e. 
dom  S.1  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ^
2 )  +  ( ( G `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( G `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
1312anandirs 806 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( F `  x ) ^ 2 )  +  ( ( G `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  x )  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )
1413fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( sqr `  ( ( ( F `  x ) ^ 2 )  +  ( ( G `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
( ( F `  x )  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x ) ) ) ) )
157, 14eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  +  ( _i  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( sqr `  (
( ( F `  x )  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x ) ) ) ) )
1615mpteq2dva 4298 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( F `  x
)  +  ( _i  x.  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sqr `  ( ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( G `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) ) ) )
17 ax-icn 9054 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
18 mulcl 9079 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( G `  x )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( G `  x )
)  e.  CC )
1917, 10, 18sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( G `  x ) )  e.  CC )
20 addcl 9077 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  ( G `  x )
)  e.  CC )  ->  ( ( F `
 x )  +  ( _i  x.  ( G `  x )
) )  e.  CC )
218, 19, 20syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  x  e.  RR )  /\  ( G  e. 
dom  S.1  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  x )  +  ( _i  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  CC )
2221anandirs 806 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  +  ( _i  x.  ( G `  x ) ) )  e.  CC )
23 reex 9086 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
252adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
26 ovex 6109 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( G `  x ) )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
_i  x.  ( G `  x ) )  e. 
_V )
281feqmptd 5782 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
2928adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
3023a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
3117a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
32 fconstmpt 4924 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { _i }
)  =  ( x  e.  RR  |->  _i )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { _i } )  =  ( x  e.  RR  |->  _i ) )
343feqmptd 5782 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  ( G `  x ) ) )
3530, 31, 4, 33, 34offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
_i } )  o F  x.  G )  =  ( x  e.  RR  |->  ( _i  x.  ( G `  x ) ) ) )
3635adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { _i }
)  o F  x.  G )  =  ( x  e.  RR  |->  ( _i  x.  ( G `
 x ) ) ) )
3724, 25, 27, 29, 36offval2 6325 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  o F  +  ( ( RR  X.  { _i }
)  o F  x.  G ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( F `  x )  +  ( _i  x.  ( G `
 x ) ) ) ) )
38 absf 12146 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
3938a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  abs : CC --> RR )
4039feqmptd 5782 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  abs  =  (
y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
41 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( F `
 x )  +  ( _i  x.  ( G `  x )
) )  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  +  ( _i  x.  ( G `  x ) ) ) ) )
4222, 37, 40, 41fmptco 5904 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( F  o F  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  o F  x.  G ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( F `  x
)  +  ( _i  x.  ( G `  x ) ) ) ) ) )
438, 8mulcld 9113 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  x
) )  e.  CC )
4410, 10mulcld 9113 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
45 addcl 9077 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  ( F `  x )
)  e.  CC  /\  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x )
) )  e.  CC )
4643, 44, 45syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  x  e.  RR )  /\  ( G  e. 
dom  S.1  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  x.  ( F `  x
) )  +  ( ( G `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  CC )
4746anandirs 806 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( F `  x )  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  e.  CC )
4843adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( F `
 x ) )  e.  CC )
4944adantll 696 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
5023a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
5150, 2, 2, 28, 28offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 x ) ) ) )
5251adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  x
) ) ) )
5330, 4, 4, 34, 34offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( G  o F  x.  G )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( G `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) ) )
5453adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( G  o F  x.  G )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( G `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
5524, 48, 49, 52, 54offval2 6325 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( ( F `
 x )  x.  ( F `  x
) )  +  ( ( G `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) ) ) )
56 sqrf 12172 . . . . . 6  |-  sqr : CC
--> CC
5756a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  sqr : CC --> CC )
5857feqmptd 5782 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  sqr  =  (
y  e.  CC  |->  ( sqr `  y ) ) )
59 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( ( F `  x )  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x )
) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
( ( F `  x )  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( G `  x )  x.  ( G `  x ) ) ) ) )
6047, 55, 58, 59fmptco 5904 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sqr `  ( ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( G `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) ) ) )
6116, 42, 603eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( F  o F  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  o F  x.  G ) ) )  =  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) ) )
62 elrege0 11012 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
63 resqrcl 12064 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR )
6462, 63sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
6564adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
66 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr
: CC --> CC )
6766feqmptd 5782 . . . . . . . 8  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) ) )
6856, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )
6968reseq1i 5145 . . . . . 6  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) )
7062simplbi 448 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
7170ssriv 3354 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
72 ax-resscn 9052 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
7371, 72sstri 3359 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
74 resmpt 5194 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
7573, 74ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x
) )
7669, 75eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
7765, 76fmptd 5896 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( sqr  |`  (
0 [,)  +oo ) ) : ( 0 [,) 
+oo ) --> RR )
78 ge0addcl 11014 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
x  +  y )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
7978adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  /\  y  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( x  +  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
80 oveq12 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  F  /\  z  =  F )  ->  ( z  o F  x.  z )  =  ( F  o F  x.  F ) )
8180anidms 628 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  F  ->  (
z  o F  x.  z )  =  ( F  o F  x.  F ) )
8281feq1d 5583 . . . . . . 7  |-  ( z  =  F  ->  (
( z  o F  x.  z ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( F  o F  x.  F
) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
83 i1ff 19571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  z : RR --> RR )
8483ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( z `  x )  e.  RR )
8584, 84remulcld 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( z `
 x )  x.  ( z `  x
) )  e.  RR )
8684msqge0d 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  (
( z `  x
)  x.  ( z `
 x ) ) )
87 elrege0 11012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z `  x
)  x.  ( z `
 x ) )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
( z `  x
)  x.  ( z `
 x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( z `  x )  x.  (
z `  x )
) ) )
8885, 86, 87sylanbrc 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( z `
 x )  x.  ( z `  x
) )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
89 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  ( ( z `  x )  x.  ( z `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( z `
 x )  x.  ( z `  x
) ) )
9088, 89fmptd 5896 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( z `  x
)  x.  ( z `
 x ) ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
9283feqmptd 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  z  =  ( x  e.  RR  |->  ( z `  x ) ) )
9391, 84, 84, 92, 92offval2 6325 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  ( z  o F  x.  z )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( z `  x
)  x.  ( z `
 x ) ) ) )
9493feq1d 5583 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  ( ( z  o F  x.  z ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  |->  ( ( z `
 x )  x.  ( z `  x
) ) ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
9590, 94mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  dom  S.1  ->  ( z  o F  x.  z ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9682, 95vtoclga 3019 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F  o F  x.  F ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
9796adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  o F  x.  F ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
98 oveq12 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  G  /\  z  =  G )  ->  ( z  o F  x.  z )  =  ( G  o F  x.  G ) )
9998anidms 628 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  G  ->  (
z  o F  x.  z )  =  ( G  o F  x.  G ) )
10099feq1d 5583 . . . . . . 7  |-  ( z  =  G  ->  (
( z  o F  x.  z ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( G  o F  x.  G
) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
101100, 95vtoclga 3019 . . . . . 6  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( G  o F  x.  G ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
102101adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( G  o F  x.  G ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
103 inidm 3552 . . . . 5  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
10479, 97, 102, 24, 24, 103off 6323 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
105 fco2 5604 . . . 4  |-  ( ( ( sqr  |`  (
0 [,)  +oo ) ) : ( 0 [,) 
+oo ) --> RR  /\  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) : RR --> RR )
10677, 104, 105syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) ) : RR --> RR )
107 rnco 5379 . . . 4  |-  ran  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) )  =  ran  ( sqr  |`  ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) )
108 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( sqr
: CC --> CC  ->  sqr 
Fn  CC )
10956, 108ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  sqr  Fn  CC
110 readdcl 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
111110adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
112 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
113112adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  RR )
114113, 1, 1, 50, 50, 103off 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F  o F  x.  F ) : RR --> RR )
115114adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  o F  x.  F ) : RR --> RR )
116112adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  RR )
117116, 3, 3, 30, 30, 103off 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( G  o F  x.  G ) : RR --> RR )
118117adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( G  o F  x.  G ) : RR --> RR )
119111, 115, 118, 24, 24, 103off 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) : RR --> RR )
120 frn 5600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) : RR --> RR  ->  ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  C_  RR )
121119, 120syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  C_  RR )
122121, 72syl6ss 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  C_  CC )
123 fnssres 5561 . . . . . . 7  |-  ( ( sqr  Fn  CC  /\  ran  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) )  C_  CC )  ->  ( sqr  |`  ran  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  Fn 
ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) )
124109, 122, 123sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( sqr  |`  ran  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  Fn 
ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) )
125 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  dom  S.1 )
126125, 125i1fmul 19591 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( F  o F  x.  F )  e.  dom  S.1 )
127126adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  o F  x.  F )  e.  dom  S.1 )
128 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G  e.  dom  S.1 )
129128, 128i1fmul 19591 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( G  o F  x.  G )  e.  dom  S.1 )
130129adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( G  o F  x.  G )  e.  dom  S.1 )
131127, 130i1fadd 19590 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  e. 
dom  S.1 )
132 i1frn 19572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) )  e.  dom  S.1 
->  ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  e. 
Fin )
133131, 132syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  e. 
Fin )
134 fnfi 7387 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr  |`  ran  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  Fn 
ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  /\  ran  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) )  e.  Fin )  ->  ( sqr  |`  ran  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  e. 
Fin )
135124, 133, 134syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( sqr  |`  ran  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  e. 
Fin )
136 rnfi 7394 . . . . 5  |-  ( ( sqr  |`  ran  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G )
) )  e.  Fin  ->  ran  ( sqr  |`  ran  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  e. 
Fin )
137135, 136syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ran  ( sqr  |` 
ran  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) )  e.  Fin )
138107, 137syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ran  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  e. 
Fin )
139 cnvco 5059 . . . . . . 7  |-  `' ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G )
) )  =  ( `' ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  o.  `' sqr )
140139imaeq1i 5203 . . . . . 6  |-  ( `' ( sqr  o.  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) ) " { x } )  =  ( ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) )  o.  `' sqr ) " { x } )
141 imaco 5378 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) )  o.  `' sqr ) " {
x } )  =  ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G )
) " ( `' sqr " { x } ) )
142140, 141eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( `' ( sqr  o.  (
( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) ) " { x } )  =  ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) " ( `' sqr " { x } ) )
143 i1fima 19573 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) )  e.  dom  S.1 
->  ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G )
) " ( `' sqr " { x } ) )  e. 
dom  vol )
144131, 143syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) " ( `' sqr " { x } ) )  e. 
dom  vol )
145142, 144syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( `' ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G )
) ) " {
x } )  e. 
dom  vol )
146145adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  ( ran  ( sqr 
o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } ) )  ->  ( `' ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) ) " { x } )  e.  dom  vol )
147142fveq2i 5734 . . . 4  |-  ( vol `  ( `' ( sqr 
o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) )
" { x }
) )  =  ( vol `  ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) " ( `' sqr " { x } ) ) )
148 eldifsni 3930 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ran  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } )  ->  x  =/=  0 )
149 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
150149elsnc 3839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  { x }  <->  0  =  x )
151 eqcom 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  x  <->  x  = 
0 )
152150, 151bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  { x }  <->  x  =  0 )
153152necon3bbii 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  0  e.  { x } 
<->  x  =/=  0 )
154 sqr0 12052 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  0 )  =  0
155154eleq1i 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  0 )  e.  { x }  <->  0  e.  { x }
)
156153, 155xchnxbir 302 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( sqr `  0
)  e.  { x } 
<->  x  =/=  0 )
157148, 156sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ran  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } )  ->  -.  ( sqr `  0 )  e. 
{ x } )
158157olcd 384 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ran  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } )  ->  ( -.  0  e.  CC  \/  -.  ( sqr `  0
)  e.  { x } ) )
159 ianor 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( 0  e.  CC  /\  ( sqr `  0
)  e.  { x } )  <->  ( -.  0  e.  CC  \/  -.  ( sqr `  0
)  e.  { x } ) )
160 elpreima 5853 . . . . . . . 8  |-  ( sqr 
Fn  CC  ->  ( 0  e.  ( `' sqr " { x } )  <-> 
( 0  e.  CC  /\  ( sqr `  0
)  e.  { x } ) ) )
16156, 108, 160mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( `' sqr " { x } )  <-> 
( 0  e.  CC  /\  ( sqr `  0
)  e.  { x } ) )
162159, 161xchnxbir 302 . . . . . 6  |-  ( -.  0  e.  ( `' sqr " { x } )  <->  ( -.  0  e.  CC  \/  -.  ( sqr `  0
)  e.  { x } ) )
163158, 162sylibr 205 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ran  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } )  ->  -.  0  e.  ( `' sqr " {
x } ) )
164 i1fima2 19574 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) )  e.  dom  S.1 
/\  -.  0  e.  ( `' sqr " { x } ) )  -> 
( vol `  ( `' ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) "
( `' sqr " {
x } ) ) )  e.  RR )
165131, 163, 164syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  ( ran  ( sqr 
o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) " ( `' sqr " { x } ) ) )  e.  RR )
166147, 165syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  ( ran  ( sqr 
o.  ( ( F  o F  x.  F
)  o F  +  ( G  o F  x.  G ) ) ) 
\  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G )
) ) " {
x } ) )  e.  RR )
167106, 138, 146, 166i1fd 19576 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( sqr  o.  ( ( F  o F  x.  F )  o F  +  ( G  o F  x.  G
) ) )  e. 
dom  S.1 )
16861, 167eqeltrd 2512 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( F  o F  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  o F  x.  G ) ) )  e.  dom  S.1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884    o. ccom 4885    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    +oocpnf 9122    <_ cle 9126   2c2 10054   [,)cico 10923   ^cexp 11387   sqrcsqr 12043   abscabs 12044   volcvol 19365   S.1citg1 19512
This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  26300  ftc1anclem8  26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517
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