Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem3 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1anclem3 26296
 Description: Lemma for ftc1anc 26302- the absolute value of the sum of a simple function and times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 19571 . . . . . . . 8
21ffvelrnda 5873 . . . . . . 7
3 i1ff 19571 . . . . . . . 8
43ffvelrnda 5873 . . . . . . 7
5 absreim 12103 . . . . . . 7
62, 4, 5syl2an 465 . . . . . 6
76anandirs 806 . . . . 5
82recnd 9119 . . . . . . . . 9
98sqvald 11525 . . . . . . . 8
104recnd 9119 . . . . . . . . 9
1110sqvald 11525 . . . . . . . 8
129, 11oveqan12d 6103 . . . . . . 7
1312anandirs 806 . . . . . 6
1413fveq2d 5735 . . . . 5
157, 14eqtrd 2470 . . . 4
1615mpteq2dva 4298 . . 3
17 ax-icn 9054 . . . . . . 7
18 mulcl 9079 . . . . . . 7
1917, 10, 18sylancr 646 . . . . . 6
20 addcl 9077 . . . . . 6
218, 19, 20syl2an 465 . . . . 5
2221anandirs 806 . . . 4
23 reex 9086 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
252adantlr 697 . . . . 5
26 ovex 6109 . . . . . 6
2726a1i 11 . . . . 5
281feqmptd 5782 . . . . . 6
2928adantr 453 . . . . 5
3023a1i 11 . . . . . . 7
3117a1i 11 . . . . . . 7
32 fconstmpt 4924 . . . . . . . 8
3332a1i 11 . . . . . . 7
343feqmptd 5782 . . . . . . 7
3530, 31, 4, 33, 34offval2 6325 . . . . . 6
3635adantl 454 . . . . 5
3724, 25, 27, 29, 36offval2 6325 . . . 4
38 absf 12146 . . . . . 6
3938a1i 11 . . . . 5
4039feqmptd 5782 . . . 4
41 fveq2 5731 . . . 4
4222, 37, 40, 41fmptco 5904 . . 3
438, 8mulcld 9113 . . . . . 6
4410, 10mulcld 9113 . . . . . 6
45 addcl 9077 . . . . . 6
4643, 44, 45syl2an 465 . . . . 5
4746anandirs 806 . . . 4
4843adantlr 697 . . . . 5
4944adantll 696 . . . . 5
5023a1i 11 . . . . . . 7
5150, 2, 2, 28, 28offval2 6325 . . . . . 6
5251adantr 453 . . . . 5
5330, 4, 4, 34, 34offval2 6325 . . . . . 6
5453adantl 454 . . . . 5
5524, 48, 49, 52, 54offval2 6325 . . . 4
56 sqrf 12172 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5857feqmptd 5782 . . . 4
59 fveq2 5731 . . . 4
6047, 55, 58, 59fmptco 5904 . . 3
6116, 42, 603eqtr4d 2480 . 2
62 elrege0 11012 . . . . . . 7
63 resqrcl 12064 . . . . . . 7
6462, 63sylbi 189 . . . . . 6
6564adantl 454 . . . . 5
66 id 21 . . . . . . . . 9
6766feqmptd 5782 . . . . . . . 8
6856, 67ax-mp 5 . . . . . . 7
6968reseq1i 5145 . . . . . 6
7062simplbi 448 . . . . . . . . 9
7170ssriv 3354 . . . . . . . 8
72 ax-resscn 9052 . . . . . . . 8
7371, 72sstri 3359 . . . . . . 7
74 resmpt 5194 . . . . . . 7
7573, 74ax-mp 5 . . . . . 6
7669, 75eqtri 2458 . . . . 5
7765, 76fmptd 5896 . . . 4
78 ge0addcl 11014 . . . . . 6
7978adantl 454 . . . . 5
80 oveq12 6093 . . . . . . . . 9
8180anidms 628 . . . . . . . 8
8281feq1d 5583 . . . . . . 7
83 i1ff 19571 . . . . . . . . . . . 12
8483ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . 11
8584, 84remulcld 9121 . . . . . . . . . 10
8684msqge0d 9600 . . . . . . . . . 10
87 elrege0 11012 . . . . . . . . . 10
8885, 86, 87sylanbrc 647 . . . . . . . . 9
89 eqid 2438 . . . . . . . . 9
9088, 89fmptd 5896 . . . . . . . 8
9123a1i 11 . . . . . . . . . 10
9283feqmptd 5782 . . . . . . . . . 10
9391, 84, 84, 92, 92offval2 6325 . . . . . . . . 9
9493feq1d 5583 . . . . . . . 8
9590, 94mpbird 225 . . . . . . 7
9682, 95vtoclga 3019 . . . . . 6
9796adantr 453 . . . . 5
98 oveq12 6093 . . . . . . . . 9
9998anidms 628 . . . . . . . 8
10099feq1d 5583 . . . . . . 7
101100, 95vtoclga 3019 . . . . . 6
102101adantl 454 . . . . 5
103 inidm 3552 . . . . 5
10479, 97, 102, 24, 24, 103off 6323 . . . 4
105 fco2 5604 . . . 4
10677, 104, 105syl2anc 644 . . 3
107 rnco 5379 . . . 4
108 ffn 5594 . . . . . . . 8
10956, 108ax-mp 5 . . . . . . 7
110 readdcl 9078 . . . . . . . . . . 11
111110adantl 454 . . . . . . . . . 10
112 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . 13
113112adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
114113, 1, 1, 50, 50, 103off 6323 . . . . . . . . . . 11
115114adantr 453 . . . . . . . . . 10
116112adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
117116, 3, 3, 30, 30, 103off 6323 . . . . . . . . . . 11
118117adantl 454 . . . . . . . . . 10
119111, 115, 118, 24, 24, 103off 6323 . . . . . . . . 9
120 frn 5600 . . . . . . . . 9
121119, 120syl 16 . . . . . . . 8
122121, 72syl6ss 3362 . . . . . . 7
123 fnssres 5561 . . . . . . 7
124109, 122, 123sylancr 646 . . . . . 6
125 id 21 . . . . . . . . . 10
126125, 125i1fmul 19591 . . . . . . . . 9
127126adantr 453 . . . . . . . 8
128 id 21 . . . . . . . . . 10
129128, 128i1fmul 19591 . . . . . . . . 9
130129adantl 454 . . . . . . . 8
131127, 130i1fadd 19590 . . . . . . 7
132 i1frn 19572 . . . . . . 7
133131, 132syl 16 . . . . . 6
134 fnfi 7387 . . . . . 6
135124, 133, 134syl2anc 644 . . . . 5
136 rnfi 7394 . . . . 5
137135, 136syl 16 . . . 4
138107, 137syl5eqel 2522 . . 3
139 cnvco 5059 . . . . . . 7
140139imaeq1i 5203 . . . . . 6
141 imaco 5378 . . . . . 6
142140, 141eqtri 2458 . . . . 5
143 i1fima 19573 . . . . . 6
144131, 143syl 16 . . . . 5
145142, 144syl5eqel 2522 . . . 4
146145adantr 453 . . 3
147142fveq2i 5734 . . . 4
148 eldifsni 3930 . . . . . . . 8
149 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . 12
150149elsnc 3839 . . . . . . . . . . 11
151 eqcom 2440 . . . . . . . . . . 11
152150, 151bitri 242 . . . . . . . . . 10
153152necon3bbii 2634 . . . . . . . . 9
154 sqr0 12052 . . . . . . . . . 10
155154eleq1i 2501 . . . . . . . . 9
156153, 155xchnxbir 302 . . . . . . . 8
157148, 156sylibr 205 . . . . . . 7
158157olcd 384 . . . . . 6
159 ianor 476 . . . . . . 7
160 elpreima 5853 . . . . . . . 8
16156, 108, 160mp2b 10 . . . . . . 7
162159, 161xchnxbir 302 . . . . . 6
163158, 162sylibr 205 . . . . 5
164 i1fima2 19574 . . . . 5
165131, 163, 164syl2an 465 . . . 4
166147, 165syl5eqel 2522 . . 3
167106, 138, 146, 166i1fd 19576 . 2
16861, 167eqeltrd 2512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882   cres 4883  cima 4884   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cfn 7112  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  ci 8997   caddc 8998   cmul 9000   cpnf 9122   cle 9126  c2 10054  cico 10923  cexp 11387  csqr 12043  cabs 12044  cvol 19365  citg1 19512 This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  26300  ftc1anclem8  26301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517
 Copyright terms: Public domain W3C validator