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Theorem ftc1cnnc 26269
Description: Choice-free proof of ftc1cn 19919. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    x, B, t    x, F, t    ph, x, t
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables  y 
z  s  u  v  w  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 19786 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5585 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 9039 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cnnc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cnnc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cnnc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cnnc.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3359 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 10964 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cnnc.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
16 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 18915 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 19912 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 10984 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 18826 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 19779 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 18844 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3376 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
28 retop 18787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2923, 28eqeltrri 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR )  e.  Top )
3121adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
32 iooretop 18792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
3332, 23eleqtri 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 ioossicc 10988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
37 uniretop 18788 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
3823unieqi 4017 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( topGen `
 ran  (,) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3937, 38eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4039ssntr 17114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  /\  (
( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4130, 31, 34, 36, 40syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
42 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4341, 42sseldd 3341 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4418ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
45 cnxmet 18799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
4613, 5sstri 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
47 xmetres2 18383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B
) ) )
4845, 46, 47mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B ) ) )
5045a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
51 ssid 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
52 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5322cnfldtop 18810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
5422cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
5554toponunii 16989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5655restid 13653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5753, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
5857eqcomi 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
5922, 52, 58cncfcn 18931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
6046, 51, 59mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
6116, 60syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
62 resttopon 17217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
6354, 46, 62mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
6463toponunii 16989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6564eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  <->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
6665biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
67 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6867cncnpi 17334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
6961, 66, 68syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
70 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )
7122cnfldtopn 18808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
72 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7370, 71, 72metrest 18546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) ) )
7445, 46, 73mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7574oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) )
7675fveq1i 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  c
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)
7769, 76syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
7877adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
79 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
8072, 71metcnpi2 18567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
8149, 50, 78, 79, 80syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
82 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  ( A (,) B ) )
83 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  ( A (,) B ) )
8482, 83ovresd 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( u ( abs 
o.  -  ) c
) )
85 elioore 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  RR )
8685recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  CC )
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  CC )
8846sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
8988ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  CC )
90 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9190cnmetdval 18797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9287, 89, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9384, 92eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( abs `  (
u  -  c ) ) )
9493breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B
) ) ) c )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v
) )
9518ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
9695ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  u
)  e.  CC )
9744ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  c
)  e.  CC )
9890cnmetdval 18797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  CC  /\  ( F `  c )  e.  CC )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
9996, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
10099breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) ( abs  o.  -  )
( F `  c
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
10194, 100imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
102101ralbidva 2713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
103 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )
104 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  =/=  c
)
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  =/=  c )
10621ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  RR )
107106sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  z  e.  RR )
108107ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )  ->  z  e.  RR )
109108ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  RR )
110 elioore 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  RR )
111110ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  RR )
112109, 111lttri2d 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  (
z  =/=  c  <->  ( z  <  c  \/  c  < 
z ) ) )
113112biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( z  <  c  \/  c  <  z ) )
114 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
115114oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) ) )
116 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
s  -  c )  =  ( z  -  c ) )
117115, 116oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  z  ->  (
( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
118 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )
119 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) )  e. 
_V
120117, 118, 119fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
121120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  (
( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `
 z )  =  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
122121ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
12319ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
124 eldifi 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  e.  ( A [,] B ) )
125124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
126125ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  ( A [,] B ) )
127123, 126ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
12835sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
12919ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
130128, 129sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
131130ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  c
)  e.  CC )
132109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  RR )
133132recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  CC )
13488ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
c  e.  CC )
135 ltne 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
c  =/=  z )
136135necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
137109, 136sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
138127, 131, 133, 134, 137div2subd 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
139122, 138eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
140139oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) )  -  ( F `  c )
) )
141140fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1428ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
1439ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
14410ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
14516ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
14615ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L ^1 )
147 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A (,) B
) )
148 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
149 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
150 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
151 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
u  -  c )  =  ( y  -  c ) )
152151fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( u  -  c ) )  =  ( abs `  (
y  -  c ) ) )
153152breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  c
) )  <  v
) )
154 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
155154oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )
156155fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c ) ) ) )
157156breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
158153, 157imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
159158rspccva 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
160150, 159sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
161103, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
162 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )
163128ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
164110recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
165164subidd 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  (
c  -  c )  =  0 )
166165abs00bd 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
167166ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
168149rpgt0d 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  0  <  v )
169167, 168eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  < 
v )
1707, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 161, 162, 163, 169ftc1cnnclem 26268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
171141, 170eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
172120oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
)  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )
173172fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
174173ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
175174ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1767, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 163, 169, 161, 162ftc1cnnclem 26268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
177175, 176eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
178171, 177jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  ( z  <  c  \/  c  <  z ) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
179113, 178syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
180105, 179mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
)
181180expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
182181adantld 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
)  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
183182expr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) )  ->  ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
)  ->  ( (
z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
184183ralrimdva 2788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
185102, 184sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
186185anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
187186reximdva 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) ) )
18881, 187mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
189188ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
19019adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  G :
( A [,] B
) --> CC )
19121, 5syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
192191adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
193128adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A [,] B ) )
194190, 192, 193dvlem 19775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) )  e.  CC )
195194, 118fmptd 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) : ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) --> CC )
196191ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  CC )
197196adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
C_  CC )
19888adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  CC )
199195, 197, 198ellimc3 19758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c )  <-> 
( ( F `  c )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) ) )
20044, 189, 199mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) lim
CC  c ) )
201 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
202201, 22, 118, 6, 19, 21eldv 19777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( c ( RR 
_D  G ) ( F `  c )  <-> 
( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
203202adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  <->  ( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
20443, 200, 203mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c ( RR  _D  G ) ( F `  c ) )
205 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
206 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
207205, 206breldm 5066 . . . . . . 7  |-  ( c ( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
208204, 207syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
209208ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
210209ssrdv 3346 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
21127, 210eqssd 3357 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
212 df-fn 5449 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
2134, 211, 212sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
214 ffn 5583 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
21518, 214syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
2164adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
217 funbrfv 5757 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  (
( RR  _D  G
) `  c )  =  ( F `  c ) ) )
218216, 204, 217sylc 58 . 2  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  c )  =  ( F `  c ) )
219213, 215, 218eqfnfvd 5822 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872    o. ccom 4874   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   [,]cicc 10911   abscabs 12031   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641   topGenctg 13657   * Metcxmt 16678   MetOpencmopn 16683  ℂfldccnfld 16695   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   intcnt 17073    Cn ccn 17280    CnP ccnp 17281   -cn->ccncf 18898   L ^1cibl 19501   S.citg 19502   lim CC climc 19741    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  ftc2nc  26279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-itg 19508  df-0p 19554  df-limc 19745  df-dv 19746
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