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Theorem ftc1cnnc 25339
Description: Choice-free proof of ftc1cn 19443. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    x, B, t    x, F, t    ph, x, t
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables  y 
z  s  u  v  w  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 19310 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5429 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 8839 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cnnc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cnnc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cnnc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cnnc.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3231 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 10759 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cnnc.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
16 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 18449 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 19436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 10778 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 18361 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 19303 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 18378 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3248 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
28 retop 18322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2923, 28eqeltrri 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top
3029a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR )  e.  Top )
3121adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
32 iooretop 18327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
3332, 23eleqtri 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3433a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 ioossicc 10782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3635a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
37 uniretop 18323 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
3823unieqi 3874 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( topGen `
 ran  (,) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3937, 38eqtri 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4039ssntr 16851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  /\  (
( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4130, 31, 34, 36, 40syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
42 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4341, 42sseldd 3215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4418ffvelrnda 5703 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
45 cnxmet 18334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
4613, 5sstri 3222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
47 xmetres2 17977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B
) ) )
4845, 46, 47mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B ) )
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B ) ) )
5045a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
51 ssid 3231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
52 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5322cnfldtop 18345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
5422cnfldtopon 18344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
5554toponunii 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5655restid 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5753, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
5857eqcomi 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
5922, 52, 58cncfcn 18465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
6046, 51, 59mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
6116, 60syl6eleq 2406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
62 resttopon 16948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
6354, 46, 62mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
6463toponunii 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6564eleq2i 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  <->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
6665biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
67 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6867cncnpi 17063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
6961, 66, 68syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
70 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )
7122cnfldtopn 18343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
72 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7370, 71, 72metrest 18122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) ) )
7445, 46, 73mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7574oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) )
7675fveq1i 5564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  c
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)
7769, 76syl6eleq 2406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
79 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
8072, 71metcnpi2 18143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( * Met `  ( A (,) B ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
8149, 50, 78, 79, 80syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
82 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  ( A (,) B ) )
83 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  ( A (,) B ) )
8482, 83ovresd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( u ( abs 
o.  -  ) c
) )
85 elioore 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  RR )
8685recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  CC )
8786adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  CC )
8846sseli 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
8988ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  CC )
90 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9190cnmetdval 18332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9287, 89, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9384, 92eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( abs `  (
u  -  c ) ) )
9493breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B
) ) ) c )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v
) )
9518ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
9695ffvelrnda 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  u
)  e.  CC )
9744ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  c
)  e.  CC )
9890cnmetdval 18332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  CC  /\  ( F `  c )  e.  CC )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
9996, 97, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
10099breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) ( abs  o.  -  )
( F `  c
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
10194, 100imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
102101ralbidva 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
103 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )
104 eldifsni 3784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  =/=  c
)
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  =/=  c )
10621ssdifssd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  RR )
107106sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  z  e.  RR )
108107ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )  ->  z  e.  RR )
109108ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  RR )
110 elioore 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  RR )
111110ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  RR )
112109, 111lttri2d 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  (
z  =/=  c  <->  ( z  <  c  \/  c  < 
z ) ) )
113112biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( z  <  c  \/  c  <  z ) )
114 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
115114oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) ) )
116 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
s  -  c )  =  ( z  -  c ) )
117115, 116oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  z  ->  (
( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
118 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )
119 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) )  e. 
_V
120117, 118, 119fvmpt 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
121120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  (
( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `
 z )  =  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
122121ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
12319ad4antr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
124 eldifi 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  e.  ( A [,] B ) )
125124ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
126125ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  ( A [,] B ) )
127123, 126ffvelrnd 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
12835sseli 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
12919ffvelrnda 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
130128, 129sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
131130ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  c
)  e.  CC )
132109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  RR )
133132recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  CC )
13488ad4antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
c  e.  CC )
135 ltne 8962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
c  =/=  z )
136135necomd 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
137109, 136sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
138127, 131, 133, 134, 137div2subd 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
139122, 138eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
140139oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) )  -  ( F `  c )
) )
141140fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1428ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
1439ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
14410ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
14516ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
14615ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L ^1 )
147 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A (,) B
) )
148 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
149 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
150 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
151 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
u  -  c )  =  ( y  -  c ) )
152151fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( u  -  c ) )  =  ( abs `  (
y  -  c ) ) )
153152breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  c
) )  <  v
) )
154 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
155154oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )
156155fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c ) ) ) )
157156breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
158153, 157imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
159158rspccva 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
160150, 159sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
161103, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
162 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )
163128ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
164110recnd 8906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
165164subidd 9190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  (
c  -  c )  =  0 )
166165abs00bd 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
167166ad3antlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
168149rpgt0d 10440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  0  <  v )
169167, 168eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  < 
v )
1707, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 161, 162, 163, 169ftc1cnnclem 25338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
171141, 170eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
172120oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
)  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )
173172fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
174173ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
175174ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1767, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 163, 169, 161, 162ftc1cnnclem 25338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
177175, 176eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
178171, 177jaodan 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  ( z  <  c  \/  c  <  z ) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
179113, 178syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
180105, 179mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
)
181180expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
182181adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
)  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
183182expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) )  ->  ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
)  ->  ( (
z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
184183ralrimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
185102, 184sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
186185anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
187186reximdva 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) ) )
18881, 187mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
189188ralrimiva 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
19019adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  G :
( A [,] B
) --> CC )
19121, 5syl6ss 3225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
192191adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
193128adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A [,] B ) )
194190, 192, 193dvlem 19299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) )  e.  CC )
195194, 118fmptd 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) : ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) --> CC )
196191ssdifssd 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  CC )
197196adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
C_  CC )
19888adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  CC )
199195, 197, 198ellimc3 19282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c )  <-> 
( ( F `  c )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) ) )
20044, 189, 199mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) lim
CC  c ) )
201 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
202201, 22, 118, 6, 19, 21eldv 19301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( c ( RR 
_D  G ) ( F `  c )  <-> 
( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
203202adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  <->  ( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
20443, 200, 203mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c ( RR  _D  G ) ( F `  c ) )
205 vex 2825 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
206 fvex 5577 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
207205, 206breldm 4920 . . . . . . 7  |-  ( c ( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
208204, 207syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
209208ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
210209ssrdv 3219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
21127, 210eqssd 3230 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
212 df-fn 5295 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
2134, 211, 212sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
214 ffn 5427 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
21518, 214syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
2164adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
217 funbrfv 5599 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  (
( RR  _D  G
) `  c )  =  ( F `  c ) ) )
218216, 204, 217sylc 56 . 2  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  c )  =  ( F `  c ) )
219213, 215, 218eqfnfvd 5663 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    \ cdif 3183    C_ wss 3186   {csn 3674   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   dom cdm 4726   ran crn 4727    |` cres 4728    o. ccom 4730   Fun wfun 5286    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   RR+crp 10401   (,)cioo 10703   [,]cicc 10706   abscabs 11766   ↾t crest 13374   TopOpenctopn 13375   topGenctg 13391   * Metcxmt 16418   MetOpencmopn 16423  ℂfldccnfld 16432   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   intcnt 16810    Cn ccn 17010    CnP ccnp 17011   -cn->ccncf 18432   L ^1cibl 19025   S.citg 19026   lim CC climc 19265    _D cdv 19266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-cmp 17170  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-ovol 18877  df-vol 18878  df-mbf 19028  df-itg1 19029  df-itg2 19030  df-ibl 19031  df-itg 19032  df-0p 19078  df-limc 19269  df-dv 19270
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