MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem1 19919
Description: Lemma for ftc1a 19921 and ftc1 19926. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
ftc1lem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1lem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    t, X, x    ph, t, x    t, Y, x    t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
2 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) Y
) )
3 itgeq1 19664 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) Y )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
5 ftc1.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
6 itgex 19662 . . . . . . 7  |-  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
74, 5, 6fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y
) ( F `  t )  _d t )
10 ftc1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  e.  RR )
12 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 iccssre 10992 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1410, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1514, 1sseldd 3349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
1814, 17sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  RR )
20 elicc2 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2110, 12, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2217, 21mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2322simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
2423adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  <_  X )
25 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  <_  Y )
26 elicc2 10975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2710, 15, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2827adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y
)  <->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y
) ) )
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1137 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( A [,] Y ) )
3012rexrd 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 elicc2 10975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
3210, 12, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
331, 32mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3433simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
35 iooss2 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3630, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
37 ftc1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
3836, 37sstrd 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  D )
3938adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( A (,) Y )  C_  D
)
4039sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  t  e.  D )
41 ftc1a.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
4241ffvelrnda 5870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4342adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4440, 43syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4522simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
46 iooss2 10952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( A (,) X )  C_  ( A (,) B ) )
4730, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  ( A (,) B ) )
4847, 37sstrd 3358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  D )
49 ioombl 19459 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) X )  e. 
dom  vol
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  e.  dom  vol )
51 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5341feqmptd 5779 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
54 ftc1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
5553, 54eqeltrrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5648, 50, 52, 55iblss 19696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) X ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5756adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( A (,) X
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
5810rexrd 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
59 iooss1 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
6058, 23, 59syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
6160, 36sstrd 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
6261, 37sstrd 3358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
63 ioombl 19459 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
6562, 64, 52, 55iblss 19696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
6665adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
6711, 16, 29, 44, 57, 66itgsplitioo 19729 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  S. ( A (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
689, 67eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
69 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) X
) )
70 itgeq1 19664 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) X )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7169, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
72 itgex 19662 . . . . . 6  |-  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
7371, 5, 72fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7417, 73syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )
7574adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )
7668, 75oveq12d 6099 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t ) )
7751a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) X ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
7877, 56itgcl 19675 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
7962sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
8079, 42syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
8180, 65itgcl 19675 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
8278, 81pncan2d 9413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )
8382adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )  -  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
8476, 83eqtrd 2468 1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    + caddc 8993   RR*cxr 9119    <_ cle 9121    - cmin 9291   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   volcvol 19360   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  ftc1a  19921  ftc1lem4  19923  ftc1cnnclem  26278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator