MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Unicode version

Theorem ftc1lem1 19382
Description: Lemma for ftc1a 19384 and ftc1 19389. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
ftc1lem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1lem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    t, X, x    ph, t, x    t, Y, x    t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
2 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) Y
) )
3 itgeq1 19127 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) Y )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
5 ftc1.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
6 itgex 19125 . . . . . . 7  |-  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
74, 5, 6fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
81, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y
) ( F `  t )  _d t )
10 ftc1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  e.  RR )
12 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 iccssre 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1410, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1514, 1sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
1814, 17sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  RR )
20 elicc2 10715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2110, 12, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2217, 21mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2322simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  <_  X )
25 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  <_  Y )
26 elicc2 10715 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2710, 15, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y
)  <->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y
) ) )
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( A [,] Y ) )
3012rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
3210, 12, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
331, 32mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3433simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
35 iooss2 10692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
37 ftc1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
3836, 37sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  D )
3938adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( A (,) Y )  C_  D
)
4039sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  t  e.  D )
41 ftc1a.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
42 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : D --> CC  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
4341, 42sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4443adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4540, 44syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4622simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
47 iooss2 10692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( A (,) X )  C_  ( A (,) B ) )
4830, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  ( A (,) B ) )
4948, 37sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  D )
50 ioombl 18922 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) X )  e. 
dom  vol
5150a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  e.  dom  vol )
52 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5352a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5441feqmptd 5575 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
55 ftc1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
5654, 55eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5749, 51, 53, 56iblss 19159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) X ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5857adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( A (,) X
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
5910rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
60 iooss1 10691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
6159, 23, 60syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
6261, 36sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
6362, 37sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
64 ioombl 18922 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
6564a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
6663, 65, 53, 56iblss 19159 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
6766adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
6811, 16, 29, 45, 58, 67itgsplitioo 19192 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  S. ( A (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
699, 68eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
70 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) X
) )
71 itgeq1 19127 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) X )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7270, 71syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
73 itgex 19125 . . . . . 6  |-  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
7472, 5, 73fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7517, 74syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )
7675adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )
7769, 76oveq12d 5876 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t ) )
7852a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) X ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
7978, 57itgcl 19138 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
8063sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
8180, 43syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
8281, 66itgcl 19138 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
8379, 82pncan2d 9159 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )
8483adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )  -  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
8577, 84eqtrd 2315 1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   volcvol 18823   L ^1cibl 18972   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator