MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Unicode version

Theorem ftc1lem1 19398
Description: Lemma for ftc1a 19400 and ftc1 19405. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
ftc1lem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1lem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    t, X, x    ph, t, x    t, Y, x    t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
2 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) Y
) )
3 itgeq1 19143 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) Y )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
5 ftc1.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
6 itgex 19141 . . . . . . 7  |-  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
74, 5, 6fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
81, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y
) ( F `  t )  _d t )
10 ftc1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  e.  RR )
12 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 iccssre 10747 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1410, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1514, 1sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
1814, 17sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  RR )
20 elicc2 10731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2110, 12, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2217, 21mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2322simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
2423adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  <_  X )
25 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  <_  Y )
26 elicc2 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2710, 15, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y
)  <->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y
) ) )
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( A [,] Y ) )
3012rexrd 8897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
3210, 12, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
331, 32mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3433simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
35 iooss2 10708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
37 ftc1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
3836, 37sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  D )
3938adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( A (,) Y )  C_  D
)
4039sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  t  e.  D )
41 ftc1a.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
42 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : D --> CC  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
4341, 42sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4443adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4540, 44syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4622simp3d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
47 iooss2 10708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( A (,) X )  C_  ( A (,) B ) )
4830, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  ( A (,) B ) )
4948, 37sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  D )
50 ioombl 18938 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) X )  e. 
dom  vol
5150a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  e.  dom  vol )
52 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5352a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5441feqmptd 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
55 ftc1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
5654, 55eqeltrrd 2371 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5749, 51, 53, 56iblss 19175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) X ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5857adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( A (,) X
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
5910rexrd 8897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
60 iooss1 10707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
6159, 23, 60syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
6261, 36sstrd 3202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
6362, 37sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
64 ioombl 18938 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
6564a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
6663, 65, 53, 56iblss 19175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
6766adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
6811, 16, 29, 45, 58, 67itgsplitioo 19208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  S. ( A (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
699, 68eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
70 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) X
) )
71 itgeq1 19143 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) X )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7270, 71syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
73 itgex 19141 . . . . . 6  |-  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
7472, 5, 73fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7517, 74syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )
7675adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )
7769, 76oveq12d 5892 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t ) )
7852a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) X ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
7978, 57itgcl 19154 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
8063sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
8180, 43syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
8281, 66itgcl 19154 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
8379, 82pncan2d 9175 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )
8483adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )  -  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
8577, 84eqtrd 2328 1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    + caddc 8756   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   volcvol 18839   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  ftc1a  19400  ftc1lem4  19402  ftc1cnnclem  25024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator