MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem2 19912
Description: Lemma for ftc1 19918. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . 4  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  ( A (,) x
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
3 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
54rexrd 9126 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
6 ftc1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7 elicc2 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
86, 3, 7syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
109simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
11 iooss2 10944 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  <_  B )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
125, 10, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
13 ftc1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D
)
1512, 14sstrd 3350 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  D
)
16 ioombl 19451 . . . . 5  |-  ( A (,) x )  e. 
dom  vol
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  e.  dom  vol )
181a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
19 ftc1a.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2019feqmptd 5771 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
21 ftc1.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
2220, 21eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
2322adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) )  e.  L ^1 )
2415, 17, 18, 23iblss 19688 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) x
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
252, 24itgcl 19667 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
26 ftc1.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2725, 26fmptd 5885 1  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   (,)cioo 10908   [,]cicc 10911   volcvol 19352   L ^1cibl 19501   S.citg 19502
This theorem is referenced by:  ftc1a  19913  ftc1lem5  19916  ftc1lem6  19917  ftc1  19918  ftc1cn  19919  ftc1cnnc  26269  ftc1anc  26278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-itg 19508
  Copyright terms: Public domain W3C validator