MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Unicode version

Theorem ftc1lem2 19399
Description: Lemma for ftc1 19405. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . 4  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
21a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  ( A (,) x
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
3 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
54rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
6 ftc1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7 elicc2 10731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
86, 3, 7syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
109simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
11 iooss2 10708 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  <_  B )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
125, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
13 ftc1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D
)
1512, 14sstrd 3202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  D
)
16 ioombl 18938 . . . . 5  |-  ( A (,) x )  e. 
dom  vol
1716a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  e.  dom  vol )
181a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
19 ftc1a.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2019feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
21 ftc1.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
2220, 21eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
2322adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) )  e.  L ^1 )
2415, 17, 18, 23iblss 19175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) x
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L ^1 )
252, 24itgcl 19154 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
26 ftc1.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2725, 26fmptd 5700 1  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   RR*cxr 8882    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   volcvol 18839   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  ftc1a  19400  ftc1lem5  19403  ftc1lem6  19404  ftc1  19405  ftc1cn  19406  ftc1cnnc  25025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995
  Copyright terms: Public domain W3C validator