MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem3 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem3 19915
Description: Lemma for ftc1 19919. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Distinct variable groups:    x, t, C    t, D, x    t, A, x    t, B, x    ph, t, x    t, F, x    x, L
Allowed substitution hints:    G( x, t)    J( x, t)    K( x, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem3
StepHypRef Expression
1 ftc1.k . . 3  |-  K  =  ( Lt  D )
2 ftc1.l . . . . 5  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18810 . . . 4  |-  L  e.  (TopOn `  CC )
4 ftc1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
5 ax-resscn 9040 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
64, 5syl6ss 3353 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
7 resttopon 17218 . . . 4  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Lt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
83, 6, 7sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
91, 8syl5eqel 2520 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  D ) )
103a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  CC ) )
11 ftc1.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
12 cnpf2 17307 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  D )  /\  L  e.  (TopOn `  CC )  /\  F  e.  (
( K  CnP  L
) `  C )
)  ->  F : D
--> CC )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3313   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   CCcc 8981   RRcr 8982    <_ cle 9114   (,)cioo 10909   [,]cicc 10912   ↾t crest 13641   TopOpenctopn 13642  ℂfldccnfld 16696  TopOnctopon 16952    CnP ccnp 17282   L ^1cibl 19502   S.citg 19503
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  19916  ftc1lem5  19917  ftc1lem6  19918  ftc1  19919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-xneg 10703  df-xadd 10704  df-xmul 10705  df-fz 11037  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-starv 13537  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-unif 13545  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-psmet 16687  df-xmet 16688  df-met 16689  df-bl 16690  df-mopn 16691  df-cnfld 16697  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-cnp 17285  df-xms 18343  df-ms 18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator