MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem3 Unicode version

Theorem ftc1lem3 19782
Description: Lemma for ftc1 19786. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Distinct variable groups:    x, t, C    t, D, x    t, A, x    t, B, x    ph, t, x    t, F, x    x, L
Allowed substitution hints:    G( x, t)    J( x, t)    K( x, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem3
StepHypRef Expression
1 ftc1.k . . 3  |-  K  =  ( Lt  D )
2 ftc1.l . . . . 5  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18681 . . . 4  |-  L  e.  (TopOn `  CC )
4 ftc1.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
5 ax-resscn 8973 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
64, 5syl6ss 3296 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
7 resttopon 17140 . . . 4  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Lt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
83, 6, 7sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
91, 8syl5eqel 2464 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  D ) )
103a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  CC ) )
11 ftc1.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
12 cnpf2 17229 . 2  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  D )  /\  L  e.  (TopOn `  CC )  /\  F  e.  (
( K  CnP  L
) `  C )
)  ->  F : D
--> CC )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915    <_ cle 9047   (,)cioo 10841   [,]cicc 10844   ↾t crest 13568   TopOpenctopn 13569  ℂfldccnfld 16619  TopOnctopon 16875    CnP ccnp 17204   L ^1cibl 19369   S.citg 19370
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  19783  ftc1lem5  19784  ftc1lem6  19785  ftc1  19786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cnp 17207  df-xms 18252  df-ms 18253
  Copyright terms: Public domain W3C validator