MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem6 19925
Description: Lemma for ftc1 19926. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Distinct variable groups:    x, t,
z, C    t, D, x, z    z, G    t, A, x, z    t, B, x, z    ph, t, x, z    t, F, x, z    x, L, z
Allowed substitution hints:    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, z, t)    K( x, z, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables  s  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
8 ftc1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
9 ftc1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
10 ftc1.j . . . 4  |-  J  =  ( Lt  RR )
11 ftc1.k . . . 4  |-  K  =  ( Lt  D )
12 ftc1.l . . . 4  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 19922 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
145, 8sseldd 3349 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1513, 14ffvelrnd 5871 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
16 cnxmet 18807 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
17 ax-resscn 9047 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
186, 17syl6ss 3360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  D  C_  CC )
20 xmetres2 18391 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D ) )
2116, 19, 20sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
) )
2216a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
23 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
2412cnfldtopn 18816 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2623, 24, 25metrest 18554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2716, 18, 26sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2811, 27syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2928oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  L
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) )
3029fveq1d 5730 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  L ) `  C )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
319, 30eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
) )
3231adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
33 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
3425, 24metcnpi2 18575 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( (
( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3714ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  D )
3836, 37ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( y ( abs  o.  -  ) C ) )
3918adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  D  C_  CC )
4039sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
41 iccssre 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
422, 3, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4342, 17syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
44 ioossicc 10996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
4544, 8sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4643, 45sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  CC )
48 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4948cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5040, 47, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5138, 50eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( abs `  (
y  -  C ) ) )
5251breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  v
) )
5313adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : D --> CC )
5453ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5515ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5648cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5754, 55, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5857breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( F `
 y ) ( abs  o.  -  )
( F `  C
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  w ) )
5952, 58imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
6059ralbidva 2721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
61 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )
62 eldifsni 3928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  -> 
s  =/=  C )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  =/=  C )
642ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
653ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
664ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
686ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  D  C_  RR )
697ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L ^1 )
708ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
719ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `  C ) )
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
73 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
74 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
75 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
76 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y  -  C )  =  ( u  -  C ) )
7776fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
u  -  C ) ) )
7877breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  C
) )  <  v
) )
79 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
8079oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 u )  -  ( F `  C ) ) )
8180fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C ) ) ) )
8281breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8378, 82imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
8483rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  /\  u  e.  D
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8575, 84sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  u  e.  D )  ->  (
( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
8661eldifad 3332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
87 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 19924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  s  =/=  C )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
8963, 88mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
9089expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( abs `  (
s  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9190adantld 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( s  =/=  C  /\  ( abs `  (
s  -  C ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9291expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
)  ->  ( (
s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9392ralrimdva 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9460, 93sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9594anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9695reximdva 2818 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( (
y ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
) ) )
9735, 96mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9897ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 19920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10099, 43, 45dvlem 19783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
101100, 72fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) --> CC )
10243ssdifssd 3485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  { C } )  C_  CC )
103101, 102, 46ellimc3 19766 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  e.  ( H lim CC  C )  <-> 
( ( F `  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) ) )
10415, 98, 103mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876    |` cres 4880    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   abscabs 12039   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649   * Metcxmt 16686   MetOpencmopn 16691  ℂfldccnfld 16703    CnP ccnp 17289   L ^1cibl 19509   S.citg 19510   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  ftc1  19926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562  df-limc 19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator