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Theorem ftc1lem6 19404
Description: Lemma for ftc1 19405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Distinct variable groups:    x, t,
z, C    t, D, x, z    z, G    t, A, x, z    t, B, x, z    ph, t, x, z    t, F, x, z    x, L, z
Allowed substitution hints:    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, z, t)    K( x, z, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables  s  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
8 ftc1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
9 ftc1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
10 ftc1.j . . . 4  |-  J  =  ( Lt  RR )
11 ftc1.k . . . 4  |-  K  =  ( Lt  D )
12 ftc1.l . . . 4  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 19401 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
145, 8sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1513, 14ffvelrnd 5682 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
16 cnxmet 18298 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
17 ax-resscn 8810 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
186, 17syl6ss 3204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  D  C_  CC )
20 xmetres2 17941 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D ) )
2116, 19, 20sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
) )
2216a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
23 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
2412cnfldtopn 18307 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
25 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2623, 24, 25metrest 18086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2716, 18, 26sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2811, 27syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2928oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  L
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) )
3029fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  L ) `  C )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
319, 30eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
) )
3231adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
33 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
3425, 24metcnpi2 18107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( (
( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3714ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  D )
3836, 37ovresd 6004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( y ( abs  o.  -  ) C ) )
3918adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  D  C_  CC )
4039sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
41 iccssre 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
422, 3, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4342, 17syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
44 ioossicc 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
4544, 8sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4643, 45sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  CC )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4948cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5040, 47, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5138, 50eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( abs `  (
y  -  C ) ) )
5251breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  v
) )
5313adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : D --> CC )
5453ffvelrnda 5681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5515ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5648cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5754, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5857breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( F `
 y ) ( abs  o.  -  )
( F `  C
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  w ) )
5952, 58imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
6059ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
61 simprll 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )
62 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  -> 
s  =/=  C )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  =/=  C )
642ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
653ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
664ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
675ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
686ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  D  C_  RR )
697ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L ^1 )
708ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
719ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `  C ) )
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
73 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
74 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
75 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
76 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y  -  C )  =  ( u  -  C ) )
7776fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
u  -  C ) ) )
7877breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  C
) )  <  v
) )
79 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
8079oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 u )  -  ( F `  C ) ) )
8180fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C ) ) ) )
8281breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8378, 82imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
8483rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  /\  u  e.  D
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8575, 84sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  u  e.  D )  ->  (
( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
86 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  -> 
s  e.  ( A [,] B ) )
8761, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
88 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )
891, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 87, 88ftc1lem5 19403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
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 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  s  =/=  C )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
9063, 89mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
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y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
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) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
9190expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
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y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
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( abs `  (
s  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( H `  s
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 C ) ) )  <  w ) )
9291adantld 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
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( s  =/=  C  /\  ( abs `  (
s  -  C ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( H `  s
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 C ) ) )  <  w ) )
9392expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
)  ->  ( (
s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
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9493ralrimdva 2646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
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)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
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9560, 94sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
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( abs `  (
( H `  s
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 C ) ) )  <  w ) ) )
9695anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
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)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
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 C ) ) )  <  w ) ) )
9796reximdva 2668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( (
y ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
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\  { C }
) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
) ) )
9835, 97mpd 14 . . 3  |-  ( (
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( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9998ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
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1001, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 19399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
101100, 43, 45dvlem 19262 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
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\  { C }
) --> CC )
103 difss 3316 . . . 4  |-  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
)  C_  ( A [,] B )
104103, 43syl5ss 3203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  { C } )  C_  CC )
105102, 104, 46ellimc3 19245 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  e.  ( H lim CC  C )  <-> 
( ( F `  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) ) )
10615, 99, 105mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   abscabs 11735   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393    CnP ccnp 16971   L ^1cibl 18988   S.citg 18989   lim CC climc 19228
This theorem is referenced by:  ftc1  19405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232
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