Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthepi Structured version   Unicode version

Theorem fthepi 14117
 Description: A faithful functor reflects epimorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b
fthmon.h
fthmon.f Faith
fthmon.x
fthmon.y
fthmon.r
fthepi.e Epi
fthepi.p Epi
fthepi.1
Assertion
Ref Expression
fthepi

Proof of Theorem fthepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4 oppCat oppCat
2 fthmon.b . . . 4
31, 2oppcbas 13936 . . 3 oppCat
4 eqid 2435 . . 3 oppCat oppCat
5 eqid 2435 . . . 4 oppCat oppCat
6 fthmon.f . . . 4 Faith
71, 5, 6fthoppc 14112 . . 3 oppCat Faith oppCattpos
8 fthmon.y . . 3
9 fthmon.x . . 3
10 fthmon.r . . . 4
11 fthmon.h . . . . 5
1211, 1oppchom 13933 . . . 4 oppCat
1310, 12syl6eleqr 2526 . . 3 oppCat
14 eqid 2435 . . 3 MonooppCat MonooppCat
15 eqid 2435 . . 3 MonooppCat MonooppCat
16 ovtpos 6486 . . . . . 6 tpos
1716fveq1i 5721 . . . . 5 tpos
18 fthepi.1 . . . . 5
1917, 18syl5eqel 2519 . . . 4 tpos
20 fthfunc 14096 . . . . . . . . . 10 Faith
2120ssbri 4246 . . . . . . . . 9 Faith
226, 21syl 16 . . . . . . . 8
23 df-br 4205 . . . . . . . 8
2422, 23sylib 189 . . . . . . 7
25 funcrcl 14052 . . . . . . 7
2624, 25syl 16 . . . . . 6
2726simprd 450 . . . . 5
28 fthepi.p . . . . 5 Epi
295, 27, 15, 28oppcmon 13956 . . . 4 MonooppCat
3019, 29eleqtrrd 2512 . . 3 tpos MonooppCat
313, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 30fthmon 14116 . 2 MonooppCat
3226simpld 446 . . 3
33 fthepi.e . . 3 Epi
341, 32, 14, 33oppcmon 13956 . 2 MonooppCat
3531, 34eleqtrd 2511 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  tpos ctpos 6470  cbs 13461   chom 13532  ccat 13881  oppCatcoppc 13929  Monocmon 13946  Epicepi 13947   cfunc 14043   Faith cfth 14092 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-hom 13545  df-cco 13546  df-cat 13885  df-cid 13886  df-oppc 13930  df-mon 13948  df-epi 13949  df-func 14047  df-fth 14094
 Copyright terms: Public domain W3C validator