Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthf1 Structured version   Unicode version

Theorem fthf1 14116
 Description: The morphism map of a faithful functor is an injection. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfth.b
isfth.h
isfth.j
fthf1.f Faith
fthf1.x
fthf1.y
Assertion
Ref Expression
fthf1

Proof of Theorem fthf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthf1.f . . 3 Faith
2 isfth.b . . . . 5
3 isfth.h . . . . 5
4 isfth.j . . . . 5
52, 3, 4isfth2 14114 . . . 4 Faith
65simprbi 452 . . 3 Faith
71, 6syl 16 . 2
8 fthf1.x . . 3
9 fthf1.y . . . . 5
109adantr 453 . . . 4
11 simplr 733 . . . . . 6
12 simpr 449 . . . . . 6
1311, 12oveq12d 6101 . . . . 5
1411, 12oveq12d 6101 . . . . 5
1511fveq2d 5734 . . . . . 6
1612fveq2d 5734 . . . . . 6
1715, 16oveq12d 6101 . . . . 5
1813, 14, 17f1eq123d 5671 . . . 4
1910, 18rspcdv 3057 . . 3
208, 19rspcimdv 3055 . 2
217, 20mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   class class class wbr 4214  wf1 5453  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   chom 13542   cfunc 14053   Faith cfth 14102 This theorem is referenced by:  fthi  14117  ffthf1o  14118  fthoppc  14122  cofth  14134 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-ixp 7066  df-func 14057  df-fth 14104
 Copyright terms: Public domain W3C validator