Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthinv Structured version   Unicode version

Theorem fthinv 14123
 Description: A faithful functor reflects inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthsect.b
fthsect.h
fthsect.f Faith
fthsect.x
fthsect.y
fthsect.m
fthsect.n
fthinv.s Inv
fthinv.t Inv
Assertion
Ref Expression
fthinv

Proof of Theorem fthinv
StepHypRef Expression
1 fthsect.b . . . 4
2 fthsect.h . . . 4
3 fthsect.f . . . 4 Faith
4 fthsect.x . . . 4
5 fthsect.y . . . 4
6 fthsect.m . . . 4
7 fthsect.n . . . 4
8 eqid 2436 . . . 4 Sect Sect
9 eqid 2436 . . . 4 Sect Sect
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fthsect 14122 . . 3 Sect Sect
111, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 8, 9fthsect 14122 . . 3 Sect Sect
1210, 11anbi12d 692 . 2 Sect Sect Sect Sect
13 fthinv.s . . 3 Inv
14 fthfunc 14104 . . . . . . . 8 Faith
1514ssbri 4254 . . . . . . 7 Faith
163, 15syl 16 . . . . . 6
17 df-br 4213 . . . . . 6
1816, 17sylib 189 . . . . 5
19 funcrcl 14060 . . . . 5
2018, 19syl 16 . . . 4
2120simpld 446 . . 3
221, 13, 21, 4, 5, 8isinv 13985 . 2 Sect Sect
23 eqid 2436 . . 3
24 fthinv.t . . 3 Inv
2520simprd 450 . . 3
261, 23, 16funcf1 14063 . . . 4
2726, 4ffvelrnd 5871 . . 3
2826, 5ffvelrnd 5871 . . 3
2923, 24, 25, 27, 28, 9isinv 13985 . 2 Sect Sect
3012, 22, 293bitr4d 277 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3817   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   chom 13540  ccat 13889  Sectcsect 13970  Invcinv 13971   cfunc 14051   Faith cfth 14100 This theorem is referenced by:  ffthiso  14126 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-map 7020  df-ixp 7064  df-cat 13893  df-cid 13894  df-sect 13973  df-inv 13974  df-func 14055  df-fth 14102
 Copyright terms: Public domain W3C validator