MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Unicode version

Theorem fthoppc 13797
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
fulloppc.p  |-  P  =  (oppCat `  D )
fthoppc.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
Assertion
Ref Expression
fthoppc  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 fulloppc.p . . 3  |-  P  =  (oppCat `  D )
3 fthoppc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
4 fthfunc 13781 . . . . 5  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
54ssbri 4065 . . . 4  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
63, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
71, 2, 6funcoppc 13749 . 2  |-  ( ph  ->  F ( O  Func  P )tpos  G )
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
113adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  F
( C Faith  D ) G )
12 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
13 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 13791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) ) )
15 df-f1 5260 . . . . . 6  |-  ( ( y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) )  <->  ( (
y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) --> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) )  /\  Fun  `' ( y G x ) ) )
1615simprbi 450 . . . . 5  |-  ( ( y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
1714, 16syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
18 ovtpos 6249 . . . . . 6  |-  ( xtpos 
G y )  =  ( y G x )
1918cnveqi 4856 . . . . 5  |-  `' ( xtpos  G y )  =  `' ( y G x )
2019funeqi 5275 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( xtpos  G
y )  <->  Fun  `' ( y G x ) )
2117, 20sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( xtpos  G y ) )
2221ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( xtpos  G
y ) )
231, 8oppcbas 13621 . . 3  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
2423isfth 13788 . 2  |-  ( F ( O Faith  P )tpos 
G  <->  ( F ( O  Func  P )tpos  G  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
xtpos  G y ) ) )
257, 22, 24sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  tpos ctpos 6233   Basecbs 13148    Hom chom 13219  oppCatcoppc 13614    Func cfunc 13728   Faith cfth 13777
This theorem is referenced by:  ffthoppc  13798  fthepi  13802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-oppc 13615  df-func 13732  df-fth 13779
  Copyright terms: Public domain W3C validator