MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Unicode version

Theorem fthoppc 14110
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
fulloppc.p  |-  P  =  (oppCat `  D )
fthoppc.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
Assertion
Ref Expression
fthoppc  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 fulloppc.p . . 3  |-  P  =  (oppCat `  D )
3 fthoppc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
4 fthfunc 14094 . . . . 5  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
54ssbri 4246 . . . 4  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
71, 2, 6funcoppc 14062 . 2  |-  ( ph  ->  F ( O  Func  P )tpos  G )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
9 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
113adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  F
( C Faith  D ) G )
12 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
13 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 14104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) ) )
15 df-f1 5451 . . . . . 6  |-  ( ( y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) )  <->  ( (
y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) --> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) )  /\  Fun  `' ( y G x ) ) )
1615simprbi 451 . . . . 5  |-  ( ( y G x ) : ( y (  Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) (  Hom  `  D
) ( F `  x ) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
1714, 16syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
18 ovtpos 6486 . . . . . 6  |-  ( xtpos 
G y )  =  ( y G x )
1918cnveqi 5039 . . . . 5  |-  `' ( xtpos  G y )  =  `' ( y G x )
2019funeqi 5466 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( xtpos  G
y )  <->  Fun  `' ( y G x ) )
2117, 20sylibr 204 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( xtpos  G y ) )
2221ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( xtpos  G
y ) )
231, 8oppcbas 13934 . . 3  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
2423isfth 14101 . 2  |-  ( F ( O Faith  P )tpos 
G  <->  ( F ( O  Func  P )tpos  G  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
xtpos  G y ) ) )
257, 22, 24sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   Fun wfun 5440   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073  tpos ctpos 6470   Basecbs 13459    Hom chom 13530  oppCatcoppc 13927    Func cfunc 14041   Faith cfth 14090
This theorem is referenced by:  ffthoppc  14111  fthepi  14115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-hom 13543  df-cco 13544  df-cat 13883  df-cid 13884  df-oppc 13928  df-func 14045  df-fth 14092
  Copyright terms: Public domain W3C validator