MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthres2b Structured version   Unicode version

Theorem fthres2b 14119
Description: Condition for a faithful functor to also be a faithful functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthres2b.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
fthres2b.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
fthres2b.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
fthres2b.s  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
fthres2b.1  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
fthres2b.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fthres2b  |-  ( ph  ->  ( F ( C Faith 
D ) G  <->  F ( C Faith  ( D  |`cat  R )
) G ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, D, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, H, y   
x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem fthres2b
StepHypRef Expression
1 fthres2b.a . . . 4  |-  A  =  ( Base `  C
)
2 fthres2b.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 fthres2b.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
4 fthres2b.s . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
5 fthres2b.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
6 fthres2b.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6funcres2b 14086 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
87anbi1d 686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  Fun  `' ( x G y ) )  <->  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
91isfth 14103 . 2  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  Fun  `' ( x G y ) ) )
101isfth 14103 . 2  |-  ( F ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) G  <-> 
( F ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  Fun  `' ( x G y ) ) )
118, 9, 103bitr4g 280 1  |-  ( ph  ->  ( F ( C Faith 
D ) G  <->  F ( C Faith  ( D  |`cat  R )
) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461    Hom chom 13532    |`cat cresc 14000  Subcatcsubc 14001    Func cfunc 14043   Faith cfth 14092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-hom 13545  df-cco 13546  df-cat 13885  df-cid 13886  df-homf 13887  df-ssc 14002  df-resc 14003  df-subc 14004  df-func 14047  df-fth 14094
  Copyright terms: Public domain W3C validator