Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftp Unicode version

Theorem ftp 26893
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftp.a  |-  A  e. 
_V
ftp.b  |-  B  e. 
_V
ftp.c  |-  C  e. 
_V
ftp.d  |-  X  e. 
_V
ftp.e  |-  Y  e. 
_V
ftp.f  |-  Z  e. 
_V
ftp.g  |-  A  =/= 
B
ftp.h  |-  A  =/= 
C
ftp.i  |-  B  =/= 
C
Assertion
Ref Expression
ftp  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }

Proof of Theorem ftp
StepHypRef Expression
1 ftp.g . . . . 5  |-  A  =/= 
B
2 ftp.a . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
3 ftp.b . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
4 ftp.d . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
5 ftp.e . . . . . 6  |-  Y  e. 
_V
62, 3, 4, 5fpr 5704 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }
)
71, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  { <. C ,  Z >. }  =  { <. C ,  Z >. }
9 ftp.c . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
10 ftp.f . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
119, 10fsn 5696 . . . . 5  |-  ( {
<. C ,  Z >. } : { C } --> { Z }  <->  { <. C ,  Z >. }  =  { <. C ,  Z >. } )
128, 11mpbir 200 . . . 4  |-  { <. C ,  Z >. } : { C } --> { Z }
137, 12pm3.2i 441 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }  /\  { <. C ,  Z >. } : { C } --> { Z } )
14 ftp.h . . . . . 6  |-  A  =/= 
C
1514necomi 2528 . . . . 5  |-  C  =/= 
A
16 ftp.i . . . . . 6  |-  B  =/= 
C
1716necomi 2528 . . . . 5  |-  C  =/= 
B
1815, 17nelpri 3661 . . . 4  |-  -.  C  e.  { A ,  B }
19 disjsn 3693 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  { C }
)  =  (/)  <->  -.  C  e.  { A ,  B } )
2018, 19mpbir 200 . . 3  |-  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/)
21 fun 5405 . . 3  |-  ( ( ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }  /\  { <. C ,  Z >. } : { C }
--> { Z } )  /\  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )  ->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
2213, 20, 21mp2an 653 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
23 df-tp 3648 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
2423feq1i 5383 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }  <->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z } )
25 df-tp 3648 . . . 4  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
26 df-tp 3648 . . . 4  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
2725, 26feq23i 5385 . . 3  |-  ( ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }  <->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
2824, 27bitri 240 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }  <->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
2922, 28mpbir 200 1  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   -->wf 5251
This theorem is referenced by:  rabren3dioph  26898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator