Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftp Unicode version

Theorem ftp 26996
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftp.a  |-  A  e. 
_V
ftp.b  |-  B  e. 
_V
ftp.c  |-  C  e. 
_V
ftp.d  |-  X  e. 
_V
ftp.e  |-  Y  e. 
_V
ftp.f  |-  Z  e. 
_V
ftp.g  |-  A  =/= 
B
ftp.h  |-  A  =/= 
C
ftp.i  |-  B  =/= 
C
Assertion
Ref Expression
ftp  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }

Proof of Theorem ftp
StepHypRef Expression
1 ftp.g . . . . 5  |-  A  =/= 
B
2 ftp.a . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
3 ftp.b . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
4 ftp.d . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
5 ftp.e . . . . . 6  |-  Y  e. 
_V
62, 3, 4, 5fpr 5720 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }
)
71, 6ax-mp 8 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  { <. C ,  Z >. }  =  { <. C ,  Z >. }
9 ftp.c . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
10 ftp.f . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
119, 10fsn 5712 . . . . 5  |-  ( {
<. C ,  Z >. } : { C } --> { Z }  <->  { <. C ,  Z >. }  =  { <. C ,  Z >. } )
128, 11mpbir 200 . . . 4  |-  { <. C ,  Z >. } : { C } --> { Z }
137, 12pm3.2i 441 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }  /\  { <. C ,  Z >. } : { C } --> { Z } )
14 ftp.h . . . . . 6  |-  A  =/= 
C
1514necomi 2541 . . . . 5  |-  C  =/= 
A
16 ftp.i . . . . . 6  |-  B  =/= 
C
1716necomi 2541 . . . . 5  |-  C  =/= 
B
1815, 17nelpri 3674 . . . 4  |-  -.  C  e.  { A ,  B }
19 disjsn 3706 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  i^i  { C }
)  =  (/)  <->  -.  C  e.  { A ,  B } )
2018, 19mpbir 200 . . 3  |-  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/)
21 fun 5421 . . 3  |-  ( ( ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } : { A ,  B } --> { X ,  Y }  /\  { <. C ,  Z >. } : { C }
--> { Z } )  /\  ( { A ,  B }  i^i  { C } )  =  (/) )  ->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
2213, 20, 21mp2an 653 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
23 df-tp 3661 . . . 4  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
2423feq1i 5399 . . 3  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }  <->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z } )
25 df-tp 3661 . . . 4  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
26 df-tp 3661 . . . 4  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
2725, 26feq23i 5401 . . 3  |-  ( ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }  <->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
2824, 27bitri 240 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. , 
<. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }  <->  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  {
<. C ,  Z >. } ) : ( { A ,  B }  u.  { C } ) --> ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) )
2922, 28mpbir 200 1  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } : { A ,  B ,  C } --> { X ,  Y ,  Z }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  rabren3dioph  27001  wlkntrllem3  28347  constr3trllem1  28396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278
  Copyright terms: Public domain W3C validator