Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuccocl Structured version   Unicode version

Theorem fuccocl 14163
 Description: The composition of two natural transformations is a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fuccocl.q FuncCat
fuccocl.n Nat
fuccocl.x comp
fuccocl.r
fuccocl.s
Assertion
Ref Expression
fuccocl

Proof of Theorem fuccocl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fuccocl.q . . . 4 FuncCat
2 fuccocl.n . . . 4 Nat
3 eqid 2438 . . . 4
4 eqid 2438 . . . 4 comp comp
5 fuccocl.x . . . 4 comp
6 fuccocl.r . . . 4
7 fuccocl.s . . . 4
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7fucco 14161 . . 3 comp
9 eqid 2438 . . . . . 6
10 eqid 2438 . . . . . 6
112natrcl 14149 . . . . . . . . . . 11
126, 11syl 16 . . . . . . . . . 10
1312simpld 447 . . . . . . . . 9
14 funcrcl 14062 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8
1615simprd 451 . . . . . . 7
1716adantr 453 . . . . . 6
18 relfunc 14061 . . . . . . . . 9
19 1st2ndbr 6398 . . . . . . . . 9
2018, 13, 19sylancr 646 . . . . . . . 8
213, 9, 20funcf1 14065 . . . . . . 7
2221ffvelrnda 5872 . . . . . 6
232natrcl 14149 . . . . . . . . . . 11
247, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
2524simpld 447 . . . . . . . . 9
26 1st2ndbr 6398 . . . . . . . . 9
2718, 25, 26sylancr 646 . . . . . . . 8
283, 9, 27funcf1 14065 . . . . . . 7
2928ffvelrnda 5872 . . . . . 6
3024simprd 451 . . . . . . . . 9
31 1st2ndbr 6398 . . . . . . . . 9
3218, 30, 31sylancr 646 . . . . . . . 8
333, 9, 32funcf1 14065 . . . . . . 7
3433ffvelrnda 5872 . . . . . 6
352, 6nat1st2nd 14150 . . . . . . . 8
3635adantr 453 . . . . . . 7
37 simpr 449 . . . . . . 7
382, 36, 3, 10, 37natcl 14152 . . . . . 6
392, 7nat1st2nd 14150 . . . . . . . 8
4039adantr 453 . . . . . . 7
412, 40, 3, 10, 37natcl 14152 . . . . . 6
429, 10, 4, 17, 22, 29, 34, 38, 41catcocl 13912 . . . . 5 comp
4342ralrimiva 2791 . . . 4 comp
44 fvex 5744 . . . . 5
45 mptelixpg 7101 . . . . 5 comp comp
4644, 45ax-mp 8 . . . 4 comp comp
4743, 46sylibr 205 . . 3 comp
488, 47eqeltrd 2512 . 2
4916adantr 453 . . . . . 6
5021adantr 453 . . . . . . 7
51 simpr1 964 . . . . . . 7
5250, 51ffvelrnd 5873 . . . . . 6
53 simpr2 965 . . . . . . 7
5450, 53ffvelrnd 5873 . . . . . 6
5528adantr 453 . . . . . . 7
5655, 53ffvelrnd 5873 . . . . . 6
57 eqid 2438 . . . . . . . 8
5820adantr 453 . . . . . . . 8
593, 57, 10, 58, 51, 53funcf2 14067 . . . . . . 7
60 simpr3 966 . . . . . . 7
6159, 60ffvelrnd 5873 . . . . . 6
6235adantr 453 . . . . . . 7
632, 62, 3, 10, 53natcl 14152 . . . . . 6
6433adantr 453 . . . . . . 7
6564, 53ffvelrnd 5873 . . . . . 6
6639adantr 453 . . . . . . 7
672, 66, 3, 10, 53natcl 14152 . . . . . 6
689, 10, 4, 49, 52, 54, 56, 61, 63, 65, 67catass 13913 . . . . 5 comp comp comp comp
692, 62, 3, 57, 4, 51, 53, 60nati 14154 . . . . . . 7 comp comp
7069oveq2d 6099 . . . . . 6 comp comp comp comp
7155, 51ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
722, 62, 3, 10, 51natcl 14152 . . . . . . 7
7327adantr 453 . . . . . . . . 9
743, 57, 10, 73, 51, 53funcf2 14067 . . . . . . . 8
7574, 60ffvelrnd 5873 . . . . . . 7
769, 10, 4, 49, 52, 71, 56, 72, 75, 65, 67catass 13913 . . . . . 6 comp comp comp comp
772, 66, 3, 57, 4, 51, 53, 60nati 14154 . . . . . . 7 comp comp
7877oveq1d 6098 . . . . . 6 comp comp comp comp
7970, 76, 783eqtr2d 2476 . . . . 5 comp comp comp comp
8064, 51ffvelrnd 5873 . . . . . 6
812, 66, 3, 10, 51natcl 14152 . . . . . 6
8232adantr 453 . . . . . . . 8
833, 57, 10, 82, 51, 53funcf2 14067 . . . . . . 7
8483, 60ffvelrnd 5873 . . . . . 6
859, 10, 4, 49, 52, 71, 80, 72, 81, 65, 84catass 13913 . . . . 5 comp comp comp comp
8668, 79, 853eqtrd 2474 . . . 4 comp comp comp comp
876adantr 453 . . . . . 6
887adantr 453 . . . . . 6
891, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 53fuccoval 14162 . . . . 5 comp
9089oveq1d 6098 . . . 4 comp comp comp
911, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 51fuccoval 14162 . . . . 5 comp
9291oveq2d 6099 . . . 4 comp comp comp
9386, 90, 923eqtr4d 2480 . . 3 comp comp
9493ralrimivvva 2801 . 2 comp comp
952, 3, 57, 10, 4, 13, 30isnat2 14147 . 2 comp comp
9648, 94, 95mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  cop 3819   class class class wbr 4214   cmpt 4268   wrel 4885  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  c2nd 6350  cixp 7065  cbs 13471   chom 13542  compcco 13543  ccat 13891   cfunc 14053   Nat cnat 14140   FuncCat cfuc 14141 This theorem is referenced by:  fucass  14167  fuccatid  14168  evlfcllem  14320  yonedalem3b  14378 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-hom 13555  df-cco 13556  df-cat 13895  df-func 14057  df-nat 14142  df-fuc 14143
 Copyright terms: Public domain W3C validator