Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Unicode version

Theorem fuchom 13851
 Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q FuncCat
fuchom.n Nat
Assertion
Ref Expression
fuchom

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5 FuncCat
2 eqid 2296 . . . . 5
3 fuchom.n . . . . 5 Nat
4 eqid 2296 . . . . 5
5 eqid 2296 . . . . 5 comp comp
6 simpl 443 . . . . 5
7 simpr 447 . . . . 5
8 eqid 2296 . . . . . 6 comp comp
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 13849 . . . . 5 comp comp
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 13848 . . . 4 comp comp
11 catstr 13847 . . . 4 comp comp Struct ;
12 df-hom 13248 . . . . 5 Slot ;
13 1nn0 9997 . . . . . 6
14 4nn 9895 . . . . . 6
1513, 14decnncl 10153 . . . . 5 ;
1612, 15ndxid 13185 . . . 4 Slot
17 snsstp2 3783 . . . 4 comp comp
18 ovex 5899 . . . . . 6 Nat
193, 18eqeltri 2366 . . . . 5
2019a1i 10 . . . 4
21 eqid 2296 . . . 4
2210, 11, 16, 17, 20, 21strfv3 13197 . . 3
2322eqcomd 2301 . 2
243natffn 13839 . . . . 5
25 funcrcl 13753 . . . . . . . . . 10
2625con3i 127 . . . . . . . . 9
2726eq0rdv 3502 . . . . . . . 8
2827xpeq2d 4729 . . . . . . 7
29 xp0 5114 . . . . . . 7
3028, 29syl6eq 2344 . . . . . 6
3130fneq2d 5352 . . . . 5
3224, 31mpbii 202 . . . 4
33 fn0 5379 . . . 4
3432, 33sylib 188 . . 3
35 fnfuc 13835 . . . . . . . 8 FuncCat
36 fndm 5359 . . . . . . . 8 FuncCat FuncCat
3735, 36ax-mp 8 . . . . . . 7 FuncCat
3837ndmov 6020 . . . . . 6 FuncCat
391, 38syl5eq 2340 . . . . 5
4039fveq2d 5545 . . . 4
4112str0 13200 . . . 4
4240, 41syl6eqr 2346 . . 3
4334, 42eqtr4d 2331 . 2
4423, 43pm2.61i 156 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801  c0 3468  ctp 3655  cop 3656   cxp 4703   cdm 4705   wfn 5266  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1 8754  c4 9813  c5 9814  ;cdc 10140  cnx 13161  cbs 13164   chom 13235  compcco 13236  ccat 13582   cfunc 13744   Nat cnat 13831   FuncCat cfuc 13832 This theorem is referenced by:  fuccatid  13859  fucsect  13862  fuciso  13865  evlfcllem  14011  evlfcl  14012  curfcl  14022  uncf2  14027  curfuncf  14028  diag2cl  14036  curf2ndf  14037  yonedalem21  14063  yonedalem22  14068  yonedalem3b  14069  yonedalem3  14070  yonffthlem  14072 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-hom 13248  df-cco 13249  df-func 13748  df-nat 13833  df-fuc 13834
 Copyright terms: Public domain W3C validator