Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucidcl Structured version   Unicode version

Theorem fucidcl 14164
 Description: The identity natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucidcl.q FuncCat
fucidcl.n Nat
fucidcl.x
fucidcl.f
Assertion
Ref Expression
fucidcl

Proof of Theorem fucidcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucidcl.f . . . . . . . 8
2 funcrcl 14062 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
43simprd 451 . . . . . 6
5 eqid 2438 . . . . . . 7
6 fucidcl.x . . . . . . 7
75, 6cidfn 13906 . . . . . 6
84, 7syl 16 . . . . 5
9 dffn2 5594 . . . . 5
108, 9sylib 190 . . . 4
11 eqid 2438 . . . . 5
12 relfunc 14061 . . . . . 6
13 1st2ndbr 6398 . . . . . 6
1412, 1, 13sylancr 646 . . . . 5
1511, 5, 14funcf1 14065 . . . 4
16 fcompt 5906 . . . 4
1710, 15, 16syl2anc 644 . . 3
18 eqid 2438 . . . . . 6
194adantr 453 . . . . . 6
2015ffvelrnda 5872 . . . . . 6
215, 18, 6, 19, 20catidcl 13909 . . . . 5
2221ralrimiva 2791 . . . 4
23 fvex 5744 . . . . 5
24 mptelixpg 7101 . . . . 5
2523, 24ax-mp 8 . . . 4
2622, 25sylibr 205 . . 3
2717, 26eqeltrd 2512 . 2
284adantr 453 . . . . . 6
29 simpr1 964 . . . . . . 7
3029, 20syldan 458 . . . . . 6
31 eqid 2438 . . . . . 6 comp comp
3215adantr 453 . . . . . . 7
33 simpr2 965 . . . . . . 7
3432, 33ffvelrnd 5873 . . . . . 6
35 eqid 2438 . . . . . . . 8
3614adantr 453 . . . . . . . 8
3711, 35, 18, 36, 29, 33funcf2 14067 . . . . . . 7
38 simpr3 966 . . . . . . 7
3937, 38ffvelrnd 5873 . . . . . 6
405, 18, 6, 28, 30, 31, 34, 39catlid 13910 . . . . 5 comp
415, 18, 6, 28, 30, 31, 34, 39catrid 13911 . . . . 5 comp
4240, 41eqtr4d 2473 . . . 4 comp comp
43 fvco3 5802 . . . . . 6
4432, 33, 43syl2anc 644 . . . . 5
4544oveq1d 6098 . . . 4 comp comp
46 fvco3 5802 . . . . . 6
4732, 29, 46syl2anc 644 . . . . 5
4847oveq2d 6099 . . . 4 comp comp
4942, 45, 483eqtr4d 2480 . . 3 comp comp
5049ralrimivvva 2801 . 2 comp comp
51 fucidcl.n . . 3 Nat
5251, 11, 35, 18, 31, 1, 1isnat2 14147 . 2 comp comp
5327, 50, 52mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  cop 3819   class class class wbr 4214   cmpt 4268   ccom 4884   wrel 4885   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  c2nd 6350  cixp 7065  cbs 13471   chom 13542  compcco 13543  ccat 13891  ccid 13892   cfunc 14053   Nat cnat 14140   FuncCat cfuc 14141 This theorem is referenced by:  fuclid  14165  fucrid  14166  fuccatid  14168 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-map 7022  df-ixp 7066  df-cat 13895  df-cid 13896  df-func 14057  df-nat 14142
 Copyright terms: Public domain W3C validator