Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullresc Structured version   Unicode version

Theorem fullresc 14048
 Description: The category formed by structure restriction is the same as the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b
fullsubc.h f
fullsubc.c
fullsubc.s
fullsubc.d s
fullsubc.e cat
Assertion
Ref Expression
fullresc f f compf compf

Proof of Theorem fullresc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . . 6 f
2 fullsubc.b . . . . . 6
3 eqid 2436 . . . . . 6
4 fullsubc.s . . . . . . . 8
54adantr 452 . . . . . . 7
6 simprl 733 . . . . . . 7
75, 6sseldd 3349 . . . . . 6
8 simprr 734 . . . . . . 7
95, 8sseldd 3349 . . . . . 6
101, 2, 3, 7, 9homfval 13918 . . . . 5
116, 8ovresd 6214 . . . . . 6
12 fullsubc.e . . . . . . . 8 cat
13 fullsubc.c . . . . . . . 8
141, 2homffn 13919 . . . . . . . . 9
15 xpss12 4981 . . . . . . . . . 10
164, 4, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9
17 fnssres 5558 . . . . . . . . 9
1814, 16, 17sylancr 645 . . . . . . . 8
1912, 2, 13, 18, 4reschom 14030 . . . . . . 7
2019proplem3 13916 . . . . . 6
2111, 20eqtr3d 2470 . . . . 5
22 fullsubc.d . . . . . . . . . 10 s
2322, 2ressbas2 13520 . . . . . . . . 9
244, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 fvex 5742 . . . . . . . 8
2624, 25syl6eqel 2524 . . . . . . 7
2722, 3resshom 13646 . . . . . . 7
2826, 27syl 16 . . . . . 6
2928proplem3 13916 . . . . 5
3010, 21, 293eqtr3rd 2477 . . . 4
3130ralrimivva 2798 . . 3
32 eqid 2436 . . . 4
33 eqid 2436 . . . 4
3412, 2, 13, 18, 4rescbas 14029 . . . 4
3532, 33, 24, 34homfeq 13920 . . 3 f f
3631, 35mpbird 224 . 2 f f
37 eqid 2436 . . . . . 6 comp comp
3822, 37ressco 13647 . . . . 5 comp comp
3926, 38syl 16 . . . 4 comp comp
4012, 2, 13, 18, 4, 37rescco 14032 . . . 4 comp comp
4139, 40eqtr3d 2470 . . 3 comp comp
4241, 36comfeqd 13933 . 2 compf compf
4336, 42jca 519 1 f f compf compf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320   cxp 4876   cres 4880   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   ↾s cress 13470   chom 13540  compcco 13541  ccat 13889   f chomf 13891  compfccomf 13892   cat cresc 14008 This theorem is referenced by:  resscat  14049  funcres2c  14098  ressffth  14135  funcsetcres2  14248 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-hom 13553  df-cco 13554  df-homf 13895  df-comf 13896  df-resc 14011
 Copyright terms: Public domain W3C validator