Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullresc Unicode version

Theorem fullresc 13725
 Description: The category formed by structure restriction is the same as the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b
fullsubc.h f
fullsubc.c
fullsubc.s
fullsubc.d s
fullsubc.e cat
Assertion
Ref Expression
fullresc f f compf compf

Proof of Theorem fullresc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . . 6 f
2 fullsubc.b . . . . . 6
3 eqid 2283 . . . . . 6
4 fullsubc.s . . . . . . . 8
54adantr 451 . . . . . . 7
6 simprl 732 . . . . . . 7
75, 6sseldd 3181 . . . . . 6
8 simprr 733 . . . . . . 7
95, 8sseldd 3181 . . . . . 6
101, 2, 3, 7, 9homfval 13595 . . . . 5
116, 8ovresd 5988 . . . . . 6
12 fullsubc.e . . . . . . . . 9 cat
13 fullsubc.c . . . . . . . . 9
141, 2homffn 13596 . . . . . . . . . 10
15 xpss12 4792 . . . . . . . . . . 11
164, 4, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
17 fnssres 5357 . . . . . . . . . 10
1814, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . . 9
1912, 2, 13, 18, 4reschom 13707 . . . . . . . 8
2019adantr 451 . . . . . . 7
2120oveqd 5875 . . . . . 6
2211, 21eqtr3d 2317 . . . . 5
23 fullsubc.d . . . . . . . . . . 11 s
2423, 2ressbas2 13199 . . . . . . . . . 10
254, 24syl 15 . . . . . . . . 9
26 fvex 5539 . . . . . . . . 9
2725, 26syl6eqel 2371 . . . . . . . 8
2823, 3resshom 13323 . . . . . . . 8
2927, 28syl 15 . . . . . . 7
3029adantr 451 . . . . . 6
3130oveqd 5875 . . . . 5
3210, 22, 313eqtr3rd 2324 . . . 4
3332ralrimivva 2635 . . 3
34 eqid 2283 . . . 4
35 eqid 2283 . . . 4
3612, 2, 13, 18, 4rescbas 13706 . . . 4
3734, 35, 25, 36homfeq 13597 . . 3 f f
3833, 37mpbird 223 . 2 f f
39 eqid 2283 . . . . . 6 comp comp
4023, 39ressco 13324 . . . . 5 comp comp
4127, 40syl 15 . . . 4 comp comp
4212, 2, 13, 18, 4, 39rescco 13709 . . . 4 comp comp
4341, 42eqtr3d 2317 . . 3 comp comp
4443, 38comfeqd 13610 . 2 compf compf
4538, 44jca 518 1 f f compf compf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   wss 3152   cxp 4687   cres 4691   wfn 5250  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   ↾s cress 13149   chom 13219  compcco 13220  ccat 13566   f chomf 13568  compfccomf 13569   cat cresc 13685 This theorem is referenced by:  resscat  13726  funcres2c  13775  ressffth  13812  funcsetcres2  13925 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-hom 13232  df-cco 13233  df-homf 13572  df-comf 13573  df-resc 13688
 Copyright terms: Public domain W3C validator