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Theorem fullsubc 13724
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fullsubc.h  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
fullsubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
fullsubc.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
fullsubc  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
2 fullsubc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2homffn 13596 . . . 4  |-  H  Fn  ( B  X.  B
)
4 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
52, 4eqeltri 2353 . . . 4  |-  B  e. 
_V
6 sscres 13700 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  B  e.  _V )  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
73, 5, 6mp2an 653 . . 3  |-  ( H  |`  ( S  X.  S
) )  C_cat  H
87a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
11 fullsubc.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  Cat )
13 fullsubc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
1413sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
152, 9, 10, 12, 14catidcl 13584 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
16 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1716, 16ovresd 5988 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x H x ) )
181, 2, 9, 14, 14homfval 13595 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x H x )  =  ( x (  Hom  `  C )
x ) )
1917, 18eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x (  Hom  `  C )
x ) )
2015, 19eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x ) )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
2212ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
2314adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  B )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  B
)
2513adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
2625sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
2827adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  B
)
2925adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
3029sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
3130adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  B
)
32 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
33 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) )
342, 9, 21, 22, 24, 28, 31, 32, 33catcocl 13587 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
3516adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  S )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  S
)
37 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
3936, 38ovresd 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x H z ) )
401, 2, 9, 24, 31homfval 13595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x H z )  =  ( x (  Hom  `  C
) z ) )
4139, 40eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x (  Hom  `  C
) z ) )
4234, 41eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
4342ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) )
44 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
4535, 44ovresd 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x H y ) )
461, 2, 9, 23, 26homfval 13595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x H y )  =  ( x (  Hom  `  C )
y ) )
4745, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x (  Hom  `  C )
y ) )
4847adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x (  Hom  `  C )
y ) )
4944adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  S )
5049, 37ovresd 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y H z ) )
511, 2, 9, 27, 30homfval 13595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y H z )  =  ( y (  Hom  `  C )
z ) )
5250, 51eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y (  Hom  `  C )
z ) )
5352raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. g  e.  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ) )
5448, 53raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. f  e.  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5543, 54mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5655ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5756ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5820, 57jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
)  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x
( H  |`  ( S  X.  S ) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5958ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
60 xpss12 4792 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  S  C_  B )  -> 
( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
6113, 13, 60syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
62 fnssres 5357 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )  -> 
( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
633, 61, 62sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
641, 10, 21, 11, 63issubc2 13713 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  ( S  X.  S
) )  e.  (Subcat `  C )  <->  ( ( H  |`  ( S  X.  S ) )  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) ) ) )
658, 59, 64mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567    Homf chomf 13568    C_cat cssc 13684  Subcatcsubc 13686
This theorem is referenced by:  resscat  13726  funcres2c  13775  ressffth  13812  funcsetcres2  13925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-cat 13570  df-cid 13571  df-homf 13572  df-ssc 13687  df-subc 13689
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