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Theorem fun11iun 5696
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fun11iun.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
fun11iun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fun11iun  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S )
Distinct variable groups:    x, A    y, A    y, B    x, C    x, S
Allowed substitution hints:    B( x)    C( y)    D( x, y)    S( y)

Proof of Theorem fun11iun
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2960 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
2 eqeq1 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =  B  <->  u  =  B ) )
32rexbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  u  =  B ) )
41, 3elab 3083 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  u  =  B )
5 r19.29 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  E. x  e.  A  u  =  B )  ->  E. x  e.  A  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B ) )
6 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( Fun  u  /\  Fun  `' u )
7 nfre1 2763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
87nfab 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
9 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( u  C_  v  \/  v  C_  u )
108, 9nfral 2760 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u  C_  v  \/  v  C_  u )
116, 10nfan 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )
12 f1eq1 5635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  B  ->  (
u : D -1-1-> S  <->  B : D -1-1-> S ) )
1312biimparc 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  u  =  B
)  ->  u : D -1-1-> S )
14 df-f1 5460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u : D -1-1-> S  <->  ( u : D --> S  /\  Fun  `' u ) )
15 ffun 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u : D --> S  ->  Fun  u )
1615anim1i 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u : D --> S  /\  Fun  `' u )  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
1714, 16sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u : D -1-1-> S  -> 
( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  u  =  B
)  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u
) )
1918adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
20 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  v  e. 
_V
21 eqeq1 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
z  =  B  <->  v  =  B ) )
2221rexbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  v  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  v  =  B ) )
2320, 22elab 3083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  v  =  B )
24 fun11iun.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2524eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  B  <->  v  =  C ) )
2625cbvrexv 2934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. x  e.  A  v  =  B  <->  E. y  e.  A  v  =  C )
27 r19.29 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  v  =  C ) )
28 sseq12 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( u  =  B  /\  v  =  C )  ->  ( u  C_  v  <->  B 
C_  C ) )
2928ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( u  C_  v  <->  B 
C_  C ) )
30 sseq12 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( v  C_  u  <->  C 
C_  B ) )
3129, 30orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  <->  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) ) )
3231biimprcd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  -> 
( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3332expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  v  =  C )  ->  ( u  =  B  ->  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3433rexlimivw 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  v  =  C )  ->  ( u  =  B  ->  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3534imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  v  =  C )  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3627, 35sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3736an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  u  =  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3837adantlll 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3926, 38sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  E. x  e.  A  v  =  B )  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
4023, 39sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
4140ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )
4219, 41jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  ->  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) ) )
4411, 43rexlimi 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
455, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  E. x  e.  A  u  =  B )  ->  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
464, 45sylan2b 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
4746ralrimiva 2790 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  A. u  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
48 fun11uni 5520 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )  -> 
( Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  /\  Fun  `' U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ) )
4947, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  /\  Fun  `'
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
) )
5049simpld 447 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
51 fun11iun.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
5251dfiun2 4126 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  B  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
5352funeqi 5475 . . . . 5  |-  ( Fun  U_ x  e.  A  B 
<->  Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
5450, 53sylibr 205 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  U_ x  e.  A  B )
55 nfra1 2757 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )
56 rsp 2767 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) ) ) )
571eldm2 5069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  B  <->  E. v <. u ,  v >.  e.  B )
58 f1dm 5644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  dom  B  =  D )
5958eleq2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : D -1-1-> S  -> 
( u  e.  dom  B  <-> 
u  e.  D ) )
6057, 59syl5bbr 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( B : D -1-1-> S  -> 
( E. v <.
u ,  v >.  e.  B  <->  u  e.  D
) )
6160adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( E. v <. u ,  v >.  e.  B  <->  u  e.  D
) )
6256, 61syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  u  e.  D ) ) )
6362imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  u  e.  D ) )
6455, 63rexbida 2721 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( E. x  e.  A  E. v <. u ,  v >.  e.  B  <->  E. x  e.  A  u  e.  D )
)
65 eliun 4098 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
6665exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. v E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
671eldm2 5069 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. v <. u ,  v >.  e.  U_ x  e.  A  B )
68 rexcom4 2976 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  E. v E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
6966, 67, 683bitr4i 270 . . . . . 6  |-  ( u  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  E. v <. u ,  v >.  e.  B )
70 eliun 4098 . . . . . 6  |-  ( u  e.  U_ x  e.  A  D  <->  E. x  e.  A  u  e.  D )
7164, 69, 703bitr4g 281 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( u  e. 
dom  U_ x  e.  A  B 
<->  u  e.  U_ x  e.  A  D )
)
7271eqrdv 2435 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  D
)
73 df-fn 5458 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D 
<->  ( Fun  U_ x  e.  A  B  /\  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  D ) )
7454, 72, 73sylanbrc 647 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D )
75 rniun 5283 . . . 4  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
76 f1f 5640 . . . . . . . 8  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  B : D --> S )
77 frn 5598 . . . . . . . 8  |-  ( B : D --> S  ->  ran  B  C_  S )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  ran  B  C_  S )
7978adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ran  B  C_  S
)
8079ralimi 2782 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  ran  B  C_  S )
81 iunss 4133 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  ran  B 
C_  S  <->  A. x  e.  A  ran  B  C_  S )
8280, 81sylibr 205 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  ran  B  C_  S )
8375, 82syl5eqss 3393 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ran  U_ x  e.  A  B  C_  S
)
84 df-f 5459 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D
--> S  <->  ( U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D  /\  ran  U_ x  e.  A  B  C_  S ) )
8574, 83, 84sylanbrc 647 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D --> S )
8649simprd 451 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  `' U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
8752cnveqi 5048 . . . 4  |-  `' U_ x  e.  A  B  =  `' U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
8887funeqi 5475 . . 3  |-  ( Fun  `' U_ x  e.  A  B 
<->  Fun  `' U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
8986, 88sylibr 205 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  `' U_ x  e.  A  B )
90 df-f1 5460 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S  <->  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D
--> S  /\  Fun  `' U_ x  e.  A  B
) )
9185, 89, 90sylanbrc 647 1  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423   A.wral 2706   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   <.cop 3818   U.cuni 4016   U_ciun 4094   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   ran crn 4880   Fun wfun 5449    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -1-1->wf1 5452
This theorem is referenced by:  ackbij2  8124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460
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