MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcf1 Unicode version

Theorem funcf1 13789
Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcf1.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
funcf1.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
funcf1.f  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Assertion
Ref Expression
funcf1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )

Proof of Theorem funcf1
Dummy variables  m  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcf1.f . . 3  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
2 funcf1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  D
)
3 funcf1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  E
)
4 eqid 2316 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
5 eqid 2316 . . . 4  |-  (  Hom  `  E )  =  (  Hom  `  E )
6 eqid 2316 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
7 eqid 2316 . . . 4  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
8 eqid 2316 . . . 4  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9 eqid 2316 . . . 4  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
10 df-br 4061 . . . . . . 7  |-  ( F ( D  Func  E
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( D 
Func  E ) )
111, 10sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( D  Func  E
) )
12 funcrcl 13786 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( D  Func  E
)  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
1413simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
1513simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15isfunc 13787 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  E ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( (  Hom  `  D
) `  z )
)  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  D ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  E ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  E )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 m ) ) ) ) ) )
171, 16mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  E
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  D ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  D ) `  x ) )  =  ( ( Id `  E ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  E )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 m ) ) ) ) )
1817simp1d 967 1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   <.cop 3677   class class class wbr 4060    X. cxp 4724   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163    ^m cmap 6815   X_cixp 6860   Basecbs 13195    Hom chom 13266  compcco 13267   Catccat 13615   Idccid 13616    Func cfunc 13777
This theorem is referenced by:  funcsect  13795  funcinv  13796  funciso  13797  funcoppc  13798  cofu1  13807  cofucl  13811  cofuass  13812  cofulid  13813  cofurid  13814  funcres  13819  funcres2  13821  wunfunc  13822  funcres2c  13824  fullpropd  13843  fthsect  13848  fthinv  13849  fthmon  13850  ffthiso  13852  cofull  13857  cofth  13858  fuccocl  13887  fucidcl  13888  fuclid  13889  fucrid  13890  fucass  13891  fucsect  13895  fucinv  13896  invfuc  13897  fuciso  13898  natpropd  13899  fucpropd  13900  catciso  13988  prfval  14022  prfcl  14026  prf1st  14027  prf2nd  14028  1st2ndprf  14029  evlfcllem  14044  evlfcl  14045  curf1cl  14051  curfcl  14055  uncf1  14059  uncf2  14060  curfuncf  14061  uncfcurf  14062  diag1cl  14065  curf2ndf  14070  yon1cl  14086  oyon1cl  14094  yonedalem3a  14097  yonedalem4c  14100  yonedalem3b  14102  yonedalem3  14103  yonedainv  14104  yonffthlem  14105  yoniso  14108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-map 6817  df-ixp 6861  df-func 13781
  Copyright terms: Public domain W3C validator