MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcf1 Unicode version

Theorem funcf1 13740
Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcf1.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
funcf1.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
funcf1.f  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Assertion
Ref Expression
funcf1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )

Proof of Theorem funcf1
Dummy variables  m  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcf1.f . . 3  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
2 funcf1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  D
)
3 funcf1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  E
)
4 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  E )  =  (  Hom  `  E )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
8 eqid 2283 . . . 4  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9 eqid 2283 . . . 4  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
10 df-br 4024 . . . . . . 7  |-  ( F ( D  Func  E
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( D 
Func  E ) )
111, 10sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( D  Func  E
) )
12 funcrcl 13737 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( D  Func  E
)  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
1413simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
1513simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15isfunc 13738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  E ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( (  Hom  `  D
) `  z )
)  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  D ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  E ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  E )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 m ) ) ) ) ) )
171, 16mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  E
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  D ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  D ) `  x ) )  =  ( ( Id `  E ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x (  Hom  `  D ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  D
) z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  E )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 m ) ) ) ) )
1817simp1d 967 1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121    ^m cmap 6772   X_cixp 6817   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567    Func cfunc 13728
This theorem is referenced by:  funcsect  13746  funcinv  13747  funciso  13748  funcoppc  13749  cofu1  13758  cofucl  13762  cofuass  13763  cofulid  13764  cofurid  13765  funcres  13770  funcres2  13772  wunfunc  13773  funcres2c  13775  fullpropd  13794  fthsect  13799  fthinv  13800  fthmon  13801  ffthiso  13803  cofull  13808  cofth  13809  fuccocl  13838  fucidcl  13839  fuclid  13840  fucrid  13841  fucass  13842  fucsect  13846  fucinv  13847  invfuc  13848  fuciso  13849  natpropd  13850  fucpropd  13851  catciso  13939  prfval  13973  prfcl  13977  prf1st  13978  prf2nd  13979  1st2ndprf  13980  evlfcllem  13995  evlfcl  13996  curf1cl  14002  curfcl  14006  uncf1  14010  uncf2  14011  curfuncf  14012  uncfcurf  14013  diag1cl  14016  curf2ndf  14021  yon1cl  14037  oyon1cl  14045  yonedalem3a  14048  yonedalem4c  14051  yonedalem3b  14053  yonedalem3  14054  yonedainv  14055  yonffthlem  14056  yoniso  14059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-ixp 6818  df-func 13732
  Copyright terms: Public domain W3C validator