Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcinv Structured version   Unicode version

Theorem funcinv 14062
 Description: The image of an inverse under a functor is an inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcinv.b
funcinv.s Inv
funcinv.t Inv
funcinv.f
funcinv.x
funcinv.y
funcinv.m
Assertion
Ref Expression
funcinv

Proof of Theorem funcinv
StepHypRef Expression
1 funcinv.b . . 3
2 eqid 2435 . . 3 Sect Sect
3 eqid 2435 . . 3 Sect Sect
4 funcinv.f . . 3
5 funcinv.x . . 3
6 funcinv.y . . 3
7 funcinv.m . . . . 5
8 funcinv.s . . . . . 6 Inv
9 df-br 4205 . . . . . . . . 9
104, 9sylib 189 . . . . . . . 8
11 funcrcl 14052 . . . . . . . 8
1210, 11syl 16 . . . . . . 7
1312simpld 446 . . . . . 6
141, 8, 13, 5, 6, 2isinv 13977 . . . . 5 Sect Sect
157, 14mpbid 202 . . . 4 Sect Sect
1615simpld 446 . . 3 Sect
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16funcsect 14061 . 2 Sect
1815simprd 450 . . 3 Sect
191, 2, 3, 4, 6, 5, 18funcsect 14061 . 2 Sect
20 eqid 2435 . . 3
21 funcinv.t . . 3 Inv
2212simprd 450 . . 3
231, 20, 4funcf1 14055 . . . 4
2423, 5ffvelrnd 5863 . . 3
2523, 6ffvelrnd 5863 . . 3
2620, 21, 22, 24, 25, 3isinv 13977 . 2 Sect Sect
2717, 19, 26mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  ccat 13881  Sectcsect 13962  Invcinv 13963   cfunc 14043 This theorem is referenced by:  funciso  14063 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-ixp 7056  df-sect 13965  df-inv 13966  df-func 14047
 Copyright terms: Public domain W3C validator