Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funciso Structured version   Unicode version

Theorem funciso 14071
 Description: The image of an isomorphism under a functor is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funciso.b
funciso.s
funciso.t
funciso.f
funciso.x
funciso.y
funciso.m
Assertion
Ref Expression
funciso

Proof of Theorem funciso
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2
2 eqid 2436 . 2 Inv Inv
3 funciso.f . . . . 5
4 df-br 4213 . . . . 5
53, 4sylib 189 . . . 4
6 funcrcl 14060 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
87simprd 450 . 2
9 funciso.b . . . 4
109, 1, 3funcf1 14063 . . 3
11 funciso.x . . 3
1210, 11ffvelrnd 5871 . 2
13 funciso.y . . 3
1410, 13ffvelrnd 5871 . 2
15 funciso.t . 2
16 eqid 2436 . . 3 Inv Inv
17 funciso.m . . . . 5
187simpld 446 . . . . . 6
19 funciso.s . . . . . 6
209, 16, 18, 11, 13, 19isoval 13990 . . . . 5 Inv
2117, 20eleqtrd 2512 . . . 4 Inv
229, 16, 18, 11, 13invfun 13989 . . . . 5 Inv
23 funfvbrb 5843 . . . . 5 Inv Inv InvInv
2422, 23syl 16 . . . 4 Inv InvInv
2521, 24mpbid 202 . . 3 InvInv
269, 16, 2, 3, 11, 13, 25funcinv 14070 . 2 InvInv
271, 2, 8, 12, 14, 15, 26inviso1 13991 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3817   class class class wbr 4212   cdm 4878   wfun 5448  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469  ccat 13889  Invcinv 13971   ciso 13972   cfunc 14051 This theorem is referenced by:  ffthiso  14126 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-map 7020  df-ixp 7064  df-cat 13893  df-cid 13894  df-sect 13973  df-inv 13974  df-iso 13975  df-func 14055
 Copyright terms: Public domain W3C validator