MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnv2 Structured version   Unicode version

Theorem funcnv2 5513
Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5514). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnv2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv2
StepHypRef Expression
1 relcnv 5245 . . 3  |-  Rel  `' A
2 dffun6 5472 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  ( Rel  `' A  /\  A. y E* x  y `' A x ) )
31, 2mpbiran 886 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  y `' A x )
4 vex 2961 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
5 vex 2961 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
64, 5brcnv 5058 . . . 4  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
76mobii 2319 . . 3  |-  ( E* x  y `' A x 
<->  E* x  x A y )
87albii 1576 . 2  |-  ( A. y E* x  y `' A x  <->  A. y E* x  x A
y )
93, 8bitri 242 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  x A y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178   A.wal 1550   E*wmo 2284   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   Rel wrel 4886   Fun wfun 5451
This theorem is referenced by:  funcnv  5514  fun2cnv  5516  fun11  5519  dff12  5641  1stconst  6438  2ndconst  6439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-fun 5459
  Copyright terms: Public domain W3C validator