Theorem funcnv3 3544

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 3543).

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 3292	. . . . . 6 |- ran A = {y | E.x xAy}
2	1	abeq2i 1562	. . . . 5 |- (y e. ran A <-> E.x xAy)
3	2	biimp 151	. . . 4 |- (y e. ran A -> E.x xAy)
4	3	biantrurd 725	. . 3 |- (y e. ran A -> (E*x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy)))
5	4	ralbiia 1665	. 2 |- (A.y e. ran AE*x xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
6		funcnv 3543	. 2 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE*x xAy)
7		df-reu 1643	. . . 4 |- (E!x e. dom A xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
8		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
9	8	breldm 3304	. . . . . 6 |- (xAy -> x e. dom A)
10	9	pm4.71ri 636	. . . . 5 |- (xAy <-> (x e. dom A /\ xAy))
11	10	eubii 1380	. . . 4 |- (E!x xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
12		eu5 1402	. . . 4 |- (E!x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
13	7, 11, 12	3bitr2 179	. . 3 |- (E!x e. dom A xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
14	13	ralbii 1659	. 2 |- (A.y e. ran AE!x e. dom A xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
15	5, 6, 14	3bitr4 183	1 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  E.wex 977  E!weu 1373  E*wmo 1374  A.wral 1637  E!wreu 1639   class class class wbr 2609  `'ccnv 3159  dom cdm 3160  ran crn 3161  Fun wfun 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-reu 1643  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-fun 3182

Copyright terms: Public domain