MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnv3 Structured version   Unicode version

Theorem funcnv3 5515
Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5514). (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
funcnv3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv3
StepHypRef Expression
1 dfrn2 5062 . . . . . 6  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
21abeq2i 2545 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x  x A y )
32biimpi 188 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  ->  E. x  x A
y )
43biantrurd 496 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
( E* x  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) ) )
54ralbiia 2739 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E* x  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
6 funcnv 5514 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E* x  x A y )
7 df-reu 2714 . . . 4  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  E! x
( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
8 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
9 vex 2961 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
108, 9breldm 5077 . . . . . 6  |-  ( x A y  ->  x  e.  dom  A )
1110pm4.71ri 616 . . . . 5  |-  ( x A y  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
1211eubii 2292 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
E! x ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
13 eu5 2321 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
147, 12, 133bitr2i 266 . . 3  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) )
1514ralbii 2731 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
165, 6, 153bitr4i 270 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726   E!weu 2283   E*wmo 2284   A.wral 2707   E!wreu 2709   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   Fun wfun 5451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-fun 5459
  Copyright terms: Public domain W3C validator