MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnv3 Unicode version

Theorem funcnv3 5311
Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5310). (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
funcnv3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv3
StepHypRef Expression
1 dfrn2 4868 . . . . . 6  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
21abeq2i 2390 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x  x A y )
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  ->  E. x  x A
y )
43biantrurd 494 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
( E* x  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) ) )
54ralbiia 2575 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E* x  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
6 funcnv 5310 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E* x  x A y )
7 df-reu 2550 . . . 4  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  E! x
( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
8 vex 2791 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
9 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
108, 9breldm 4883 . . . . . 6  |-  ( x A y  ->  x  e.  dom  A )
1110pm4.71ri 614 . . . . 5  |-  ( x A y  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
1211eubii 2152 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
E! x ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
13 eu5 2181 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
147, 12, 133bitr2i 264 . . 3  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) )
1514ralbii 2567 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
165, 6, 153bitr4i 268 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   E!weu 2143   E*wmo 2144   A.wral 2543   E!wreu 2545   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   Fun wfun 5249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257
  Copyright terms: Public domain W3C validator