Theorem funcnvsn 5455

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5458 via cnvsn 5311, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5201	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 3070	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 2919	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 2919	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 5014	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 4173	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 241	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3798	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4394	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 188	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2301	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 8	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1552	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5428	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 887	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

Syntax hints:   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   E*wmo 2255   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407

This theorem is referenced by:  funsng  5456  strlemor1  13511  0spth  21524  2pthlem1  21548

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-fun 5415