Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcoppc Structured version   Unicode version

Theorem funcoppc 14077
 Description: A functor on categories yields a functor on the opposite categories (in the same direction). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcoppc.o oppCat
funcoppc.p oppCat
funcoppc.f
Assertion
Ref Expression
funcoppc tpos

Proof of Theorem funcoppc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcoppc.o . . 3 oppCat
2 eqid 2438 . . 3
31, 2oppcbas 13949 . 2
4 funcoppc.p . . 3 oppCat
5 eqid 2438 . . 3
64, 5oppcbas 13949 . 2
7 eqid 2438 . 2
8 eqid 2438 . 2
9 eqid 2438 . 2
10 eqid 2438 . 2
11 eqid 2438 . 2 comp comp
12 eqid 2438 . 2 comp comp
13 funcoppc.f . . . . . 6
14 df-br 4216 . . . . . 6
1513, 14sylib 190 . . . . 5
16 funcrcl 14065 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
1817simpld 447 . . 3
191oppccat 13953 . . 3
2018, 19syl 16 . 2
2117simprd 451 . . 3
224oppccat 13953 . . 3
2321, 22syl 16 . 2
242, 5, 13funcf1 14068 . 2
252, 13funcfn2 14071 . . 3
26 tposfn 6511 . . 3 tpos
2725, 26syl 16 . 2 tpos
28 eqid 2438 . . . 4
29 eqid 2438 . . . 4
3013adantr 453 . . . 4
31 simprr 735 . . . 4
32 simprl 734 . . . 4
332, 28, 29, 30, 31, 32funcf2 14070 . . 3
34 ovtpos 6497 . . . . 5 tpos
3534feq1i 5588 . . . 4 tpos
3628, 1oppchom 13946 . . . . 5
3729, 4oppchom 13946 . . . . 5
3836, 37feq23i 5590 . . . 4
3935, 38bitri 242 . . 3 tpos
4033, 39sylibr 205 . 2 tpos
41 eqid 2438 . . . 4
42 eqid 2438 . . . 4
4313adantr 453 . . . 4
44 simpr 449 . . . 4
452, 41, 42, 43, 44funcid 14072 . . 3
46 ovtpos 6497 . . . . 5 tpos
4746a1i 11 . . . 4 tpos
481, 41oppcid 13952 . . . . . . 7
4918, 48syl 16 . . . . . 6
5049adantr 453 . . . . 5
5150fveq1d 5733 . . . 4
5247, 51fveq12d 5737 . . 3 tpos
534, 42oppcid 13952 . . . . . 6
5421, 53syl 16 . . . . 5
5554adantr 453 . . . 4
5655fveq1d 5733 . . 3
5745, 52, 563eqtr4d 2480 . 2 tpos
58 eqid 2438 . . . . 5 comp comp
59 eqid 2438 . . . . 5 comp comp
60133ad2ant1 979 . . . . 5
61 simp23 993 . . . . 5
62 simp22 992 . . . . 5
63 simp21 991 . . . . 5
64 simp3r 987 . . . . . 6
6528, 1oppchom 13946 . . . . . 6
6664, 65syl6eleq 2528 . . . . 5
67 simp3l 986 . . . . . 6
6867, 36syl6eleq 2528 . . . . 5
692, 28, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 66, 68funcco 14073 . . . 4 comp comp
702, 58, 1, 63, 62, 61oppcco 13948 . . . . 5 comp comp
7170fveq2d 5735 . . . 4 comp comp
72243ad2ant1 979 . . . . . 6
7372, 63ffvelrnd 5874 . . . . 5
7472, 62ffvelrnd 5874 . . . . 5
7572, 61ffvelrnd 5874 . . . . 5
765, 59, 4, 73, 74, 75oppcco 13948 . . . 4 comp comp
7769, 71, 763eqtr4d 2480 . . 3 comp comp
78 ovtpos 6497 . . . 4 tpos
7978fveq1i 5732 . . 3 tpos comp comp
80 ovtpos 6497 . . . . 5 tpos
8180fveq1i 5732 . . . 4 tpos
8234fveq1i 5732 . . . 4 tpos
8381, 82oveq12i 6096 . . 3 tpos comptpos comp
8477, 79, 833eqtr4g 2495 . 2 tpos comp tpos comptpos
853, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 23, 24, 27, 40, 57, 84isfuncd 14067 1 tpos
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cop 3819   class class class wbr 4215   cxp 4879   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  tpos ctpos 6481  cbs 13474   chom 13545  compcco 13546  ccat 13894  ccid 13895  oppCatcoppc 13942   cfunc 14056 This theorem is referenced by:  fulloppc  14124  fthoppc  14125  yonedalem1  14374  yonedalem21  14375  yonedalem22  14380 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-hom 13558  df-cco 13559  df-cat 13898  df-cid 13899  df-oppc 13943  df-func 14060
 Copyright terms: Public domain W3C validator