MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Unicode version

Theorem funcrcl 13753
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 13748 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21elmpt2cl 6077 1  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   [.wsbc 3004   <.cop 3656   {copab 4092    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137    ^m cmap 6788   X_cixp 6833   Basecbs 13164    Hom chom 13235  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583    Func cfunc 13744
This theorem is referenced by:  funcf1  13756  funcixp  13757  funcid  13760  funcco  13761  funcsect  13762  funcinv  13763  funciso  13764  funcoppc  13765  cofucl  13778  cofulid  13780  cofurid  13781  funcres  13786  funcres2b  13787  funcpropd  13790  funcres2c  13791  isfull  13800  isfth  13804  fthsect  13815  fthinv  13816  fthmon  13817  fthepi  13818  ffthiso  13819  natfval  13836  fucbas  13850  fuchom  13851  fucco  13852  fuccocl  13854  fucidcl  13855  fuclid  13856  fucrid  13857  fucass  13858  fucid  13861  fucsect  13862  fucinv  13863  invfuc  13864  fuciso  13865  funcsetcres2  13941  prfcl  13993  prf1st  13994  prf2nd  13995  curf1cl  14018  curfcl  14022  curfpropd  14023  uncfval  14024  uncfcl  14025  uncf1  14026  uncf2  14027  curfuncf  14028  uncfcurf  14029  yonffthlem  14072  yoneda  14073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-func 13748
  Copyright terms: Public domain W3C validator