MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Unicode version

Theorem funcrcl 14060
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 14055 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21elmpt2cl 6288 1  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   [.wsbc 3161   <.cop 3817   {copab 4265    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348    ^m cmap 7018   X_cixp 7063   Basecbs 13469    Hom chom 13540  compcco 13541   Catccat 13889   Idccid 13890    Func cfunc 14051
This theorem is referenced by:  funcf1  14063  funcixp  14064  funcid  14067  funcco  14068  funcsect  14069  funcinv  14070  funciso  14071  funcoppc  14072  cofucl  14085  cofulid  14087  cofurid  14088  funcres  14093  funcres2b  14094  funcpropd  14097  funcres2c  14098  isfull  14107  isfth  14111  fthsect  14122  fthinv  14123  fthmon  14124  fthepi  14125  ffthiso  14126  natfval  14143  fucbas  14157  fuchom  14158  fucco  14159  fuccocl  14161  fucidcl  14162  fuclid  14163  fucrid  14164  fucass  14165  fucid  14168  fucsect  14169  fucinv  14170  invfuc  14171  fuciso  14172  funcsetcres2  14248  prfcl  14300  prf1st  14301  prf2nd  14302  curf1cl  14325  curfcl  14329  uncfval  14331  uncfcl  14332  uncf1  14333  uncf2  14334  curfuncf  14335  uncfcurf  14336  yonffthlem  14379  yoneda  14380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-func 14055
  Copyright terms: Public domain W3C validator