Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres Structured version   Unicode version

Theorem funcres 14085
 Description: A functor restricted to a subcategory is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres.f
funcres.h Subcat
Assertion
Ref Expression
funcres f cat

Proof of Theorem funcres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcres.f . . . 4
2 funcres.h . . . 4 Subcat
31, 2resfval 14081 . . 3 f
43fveq2d 5724 . . . . 5 f
5 fvex 5734 . . . . . . 7
65resex 5178 . . . . . 6
7 dmexg 5122 . . . . . . 7 Subcat
8 mptexg 5957 . . . . . . 7
92, 7, 83syl 19 . . . . . 6
10 op2ndg 6352 . . . . . 6
116, 9, 10sylancr 645 . . . . 5
124, 11eqtrd 2467 . . . 4 f
1312opeq2d 3983 . . 3 f
143, 13eqtr4d 2470 . 2 f f
15 eqid 2435 . . . 4 cat cat
16 eqid 2435 . . . 4
17 eqid 2435 . . . 4 cat cat
18 eqid 2435 . . . 4
19 eqid 2435 . . . 4 cat cat
20 eqid 2435 . . . 4
21 eqid 2435 . . . 4 comp cat comp cat
22 eqid 2435 . . . 4 comp comp
23 eqid 2435 . . . . 5 cat cat
2423, 2subccat 14037 . . . 4 cat
25 funcrcl 14052 . . . . . 6
261, 25syl 16 . . . . 5
2726simprd 450 . . . 4
28 eqid 2435 . . . . . . 7
29 relfunc 14051 . . . . . . . 8
30 1st2ndbr 6388 . . . . . . . 8
3129, 1, 30sylancr 645 . . . . . . 7
3228, 16, 31funcf1 14055 . . . . . 6
33 eqidd 2436 . . . . . . . 8
342, 33subcfn 14030 . . . . . . 7
352, 34, 28subcss1 14031 . . . . . 6
36 fssres 5602 . . . . . 6
3732, 35, 36syl2anc 643 . . . . 5
3826simpld 446 . . . . . . 7
3923, 28, 38, 34, 35rescbas 14021 . . . . . 6 cat
4039feq2d 5573 . . . . 5 cat
4137, 40mpbid 202 . . . 4 cat
42 fvex 5734 . . . . . . 7
4342resex 5178 . . . . . 6
44 eqid 2435 . . . . . 6
4543, 44fnmpti 5565 . . . . 5
4612eqcomd 2440 . . . . . 6 f
47 fndm 5536 . . . . . . . 8
4834, 47syl 16 . . . . . . 7
4939, 39xpeq12d 4895 . . . . . . 7 cat cat
5048, 49eqtrd 2467 . . . . . 6 cat cat
5146, 50fneq12d 5530 . . . . 5 f cat cat
5245, 51mpbii 203 . . . 4 f cat cat
53 eqid 2435 . . . . . . . 8
5431adantr 452 . . . . . . . 8 cat cat
5535adantr 452 . . . . . . . . 9 cat cat
56 simprl 733 . . . . . . . . . 10 cat cat cat
5739adantr 452 . . . . . . . . . 10 cat cat cat
5856, 57eleqtrrd 2512 . . . . . . . . 9 cat cat
5955, 58sseldd 3341 . . . . . . . 8 cat cat
60 simprr 734 . . . . . . . . . 10 cat cat cat
6160, 57eleqtrrd 2512 . . . . . . . . 9 cat cat
6255, 61sseldd 3341 . . . . . . . 8 cat cat
6328, 53, 18, 54, 59, 62funcf2 14057 . . . . . . 7 cat cat
642adantr 452 . . . . . . . 8 cat cat Subcat
6534adantr 452 . . . . . . . 8 cat cat
6664, 65, 53, 58, 61subcss2 14032 . . . . . . 7 cat cat
67 fssres 5602 . . . . . . 7
6863, 66, 67syl2anc 643 . . . . . 6 cat cat
691adantr 452 . . . . . . . 8 cat cat
7069, 64, 65, 58, 61resf2nd 14084 . . . . . . 7 cat cat f
7170feq1d 5572 . . . . . 6 cat cat f
7268, 71mpbird 224 . . . . 5 cat cat f
7323, 28, 38, 34, 35reschom 14022 . . . . . . . 8 cat
7473adantr 452 . . . . . . 7 cat cat cat
7574oveqd 6090 . . . . . 6 cat cat cat
76 fvres 5737 . . . . . . . . 9
7758, 76syl 16 . . . . . . . 8 cat cat
78 fvres 5737 . . . . . . . . 9
7961, 78syl 16 . . . . . . . 8 cat cat
8077, 79oveq12d 6091 . . . . . . 7 cat cat
8180eqcomd 2440 . . . . . 6 cat cat
8275, 81feq23d 5580 . . . . 5 cat cat f f cat
8372, 82mpbid 202 . . . 4 cat cat f cat
841adantr 452 . . . . . . 7 cat
852adantr 452 . . . . . . 7 cat Subcat
8634adantr 452 . . . . . . 7 cat
8739eleq2d 2502 . . . . . . . 8 cat
8887biimpar 472 . . . . . . 7 cat
8984, 85, 86, 88, 88resf2nd 14084 . . . . . 6 cat f
90 eqid 2435 . . . . . . . 8
9123, 85, 86, 90, 88subcid 14036 . . . . . . 7 cat cat
9291eqcomd 2440 . . . . . 6 cat cat
9389, 92fveq12d 5726 . . . . 5 cat f cat
9431adantr 452 . . . . . . 7 cat
9539, 35eqsstr3d 3375 . . . . . . . 8 cat
9695sselda 3340 . . . . . . 7 cat
9728, 90, 20, 94, 96funcid 14059 . . . . . 6 cat
9885, 86, 88, 90subcidcl 14033 . . . . . . 7 cat
99 fvres 5737 . . . . . . 7
10098, 99syl 16 . . . . . 6 cat
10188, 76syl 16 . . . . . . 7 cat
102101fveq2d 5724 . . . . . 6 cat
10397, 100, 1023eqtr4d 2477 . . . . 5 cat
10493, 103eqtrd 2467 . . . 4 cat f cat
10523ad2ant1 978 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat Subcat
106343ad2ant1 978 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
107 simp21 990 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
108393ad2ant1 978 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
109107, 108eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
110 eqid 2435 . . . . . . . 8 comp comp
111 simp22 991 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
112111, 108eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
113 simp23 992 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
114113, 108eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
115 simp3l 985 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
116733ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10 cat cat cat cat cat cat
117116oveqd 6090 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
118115, 117eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
119 simp3r 986 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
120116oveqd 6090 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat cat
121119, 120eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
122105, 106, 109, 110, 112, 114, 118, 121subccocl 14034 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat comp
123 fvres 5737 . . . . . . 7 comp comp comp
124122, 123syl 16 . . . . . 6 cat cat cat cat cat comp comp
125313ad2ant1 978 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
126353ad2ant1 978 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
127126, 109sseldd 3341 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
128126, 112sseldd 3341 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
129126, 114sseldd 3341 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
130105, 106, 53, 109, 112subcss2 14032 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
131130, 118sseldd 3341 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
132105, 106, 53, 112, 114subcss2 14032 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
133132, 121sseldd 3341 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
13428, 53, 110, 22, 125, 127, 128, 129, 131, 133funcco 14060 . . . . . 6 cat cat cat cat cat comp comp
135124, 134eqtrd 2467 . . . . 5 cat cat cat cat cat comp comp
13613ad2ant1 978 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
137136, 105, 106, 109, 114resf2nd 14084 . . . . . 6 cat cat cat cat cat f
13823, 28, 38, 34, 35, 110rescco 14024 . . . . . . . . . 10 comp comp cat
1391383ad2ant1 978 . . . . . . . . 9 cat cat cat cat cat comp comp cat
140139eqcomd 2440 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat comp cat comp
141140oveqd 6090 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat comp cat comp
142141oveqd 6090 . . . . . 6 cat cat cat cat cat comp cat comp
143137, 142fveq12d 5726 . . . . 5 cat cat cat cat cat f comp cat comp
144109, 76syl 16 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
145112, 78syl 16 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat
146144, 145opeq12d 3984 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
147 fvres 5737 . . . . . . . 8
148114, 147syl 16 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
149146, 148oveq12d 6091 . . . . . 6 cat cat cat cat cat comp comp
150136, 105, 106, 112, 114resf2nd 14084 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat f
151150fveq1d 5722 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat f
152 fvres 5737 . . . . . . . 8
153121, 152syl 16 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
154151, 153eqtrd 2467 . . . . . 6 cat cat cat cat cat f
155136, 105, 106, 109, 112resf2nd 14084 . . . . . . . 8 cat cat cat cat cat f
156155fveq1d 5722 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat f
157 fvres 5737 . . . . . . . 8
158118, 157syl 16 . . . . . . 7 cat cat cat cat cat
159156, 158eqtrd 2467 . . . . . 6 cat cat cat cat cat f
160149, 154, 159oveq123d 6094 . . . . 5 cat cat cat cat cat f comp f comp
161135, 143, 1603eqtr4d 2477 . . . 4 cat cat cat cat cat f comp cat f comp f
16215, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 27, 41, 52, 83, 104, 161isfuncd 14054 . . 3 cat f
163 df-br 4205 . . 3 cat f f cat
164162, 163sylib 189 . 2 f cat
16514, 164eqeltrd 2509 1 f cat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312  cop 3809   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868   cdm 4870   cres 4872   wrel 4875   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  cbs 13461   chom 13532  compcco 13533  ccat 13881  ccid 13882   cat cresc 14000  Subcatcsubc 14001   cfunc 14043   f cresf 14046 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-hom 13545  df-cco 13546  df-cat 13885  df-cid 13886  df-homf 13887  df-ssc 14002  df-resc 14003  df-subc 14004  df-func 14047  df-resf 14050
 Copyright terms: Public domain W3C validator