Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres2 Structured version   Unicode version

Theorem funcres2 14087
 Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcres2 Subcat cat

Proof of Theorem funcres2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 14051 . . 3 cat
21a1i 11 . 2 Subcat cat
3 simpr 448 . . . . 5 Subcat cat cat
4 eqid 2435 . . . . . 6
5 eqid 2435 . . . . . 6
6 simpl 444 . . . . . 6 Subcat cat Subcat
7 eqidd 2436 . . . . . . 7 Subcat cat
86, 7subcfn 14030 . . . . . 6 Subcat cat
9 eqid 2435 . . . . . . . 8 cat cat
104, 9, 3funcf1 14055 . . . . . . 7 Subcat cat cat
11 eqid 2435 . . . . . . . . 9 cat cat
12 eqid 2435 . . . . . . . . 9
13 subcrcl 14008 . . . . . . . . . 10 Subcat
1413adantr 452 . . . . . . . . 9 Subcat cat
156, 8, 12subcss1 14031 . . . . . . . . 9 Subcat cat
1611, 12, 14, 8, 15rescbas 14021 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
17 feq3 5570 . . . . . . . 8 cat cat
1816, 17syl 16 . . . . . . 7 Subcat cat cat
1910, 18mpbird 224 . . . . . 6 Subcat cat
20 eqid 2435 . . . . . . . 8 cat cat
21 simplr 732 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
22 simprl 733 . . . . . . . 8 Subcat cat
23 simprr 734 . . . . . . . 8 Subcat cat
244, 5, 20, 21, 22, 23funcf2 14057 . . . . . . 7 Subcat cat cat
2511, 12, 14, 8, 15reschom 14022 . . . . . . . . . 10 Subcat cat cat
2625adantr 452 . . . . . . . . 9 Subcat cat cat
2726oveqd 6090 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
28 feq3 5570 . . . . . . . 8 cat cat
2927, 28syl 16 . . . . . . 7 Subcat cat cat
3024, 29mpbird 224 . . . . . 6 Subcat cat
314, 5, 6, 8, 19, 30funcres2b 14086 . . . . 5 Subcat cat cat
323, 31mpbird 224 . . . 4 Subcat cat
3332ex 424 . . 3 Subcat cat
34 df-br 4205 . . 3 cat cat
35 df-br 4205 . . 3
3633, 34, 353imtr3g 261 . 2 Subcat cat
372, 36relssdv 4960 1 Subcat cat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  cop 3809   class class class wbr 4204   cdm 4870   wrel 4875  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   chom 13532  ccat 13881   cat cresc 14000  Subcatcsubc 14001   cfunc 14043 This theorem is referenced by:  fthres2  14121  ressffth  14127  funcsetcres2  14240 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-hom 13545  df-cco 13546  df-cat 13885  df-cid 13886  df-homf 13887  df-ssc 14002  df-resc 14003  df-subc 14004  df-func 14047
 Copyright terms: Public domain W3C validator