Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres2b Structured version   Unicode version

Theorem funcres2b 14099
 Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2b.a
funcres2b.h
funcres2b.r Subcat
funcres2b.s
funcres2b.1
funcres2b.2
Assertion
Ref Expression
funcres2b cat
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem funcres2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4216 . . . . 5
2 funcrcl 14065 . . . . 5
31, 2sylbi 189 . . . 4
43simpld 447 . . 3
54a1i 11 . 2
6 df-br 4216 . . . . 5 cat cat
7 funcrcl 14065 . . . . 5 cat cat
86, 7sylbi 189 . . . 4 cat cat
98simpld 447 . . 3 cat
109a1i 11 . 2 cat
11 funcres2b.1 . . . . . . . 8
12 funcres2b.r . . . . . . . . 9 Subcat
13 funcres2b.s . . . . . . . . 9
14 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1512, 13, 14subcss1 14044 . . . . . . . 8
16 fss 5602 . . . . . . . 8
1711, 15, 16syl2anc 644 . . . . . . 7
18 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 cat cat
19 subcrcl 14021 . . . . . . . . . . 11 Subcat
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . 10
2118, 14, 20, 13, 15rescbas 14034 . . . . . . . . 9 cat
22 feq3 5581 . . . . . . . . 9 cat cat
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8 cat
2411, 23mpbid 203 . . . . . . 7 cat
2517, 242thd 233 . . . . . 6 cat
2625adantr 453 . . . . 5 cat
27 funcres2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 frn 5600 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3112ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Subcat
3213ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3411ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
35 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3634, 35ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3834, 37ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3931, 32, 33, 36, 38subcss2 14045 . . . . . . . . . . . . . . 15
4030, 39sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . 14
4140, 302thd 233 . . . . . . . . . . . . 13
4241anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12
43 df-f 5461 . . . . . . . . . . . 12
44 df-f 5461 . . . . . . . . . . . 12
4542, 43, 443bitr4g 281 . . . . . . . . . . 11
4618, 14, 20, 13, 15reschom 14035 . . . . . . . . . . . . . 14 cat
4746ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 cat
4847oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12 cat
49 feq3 5581 . . . . . . . . . . . 12 cat cat
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11 cat
5145, 50bitrd 246 . . . . . . . . . 10 cat
5251ralrimivva 2800 . . . . . . . . 9 cat
53 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
54 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . . . 14
5553, 54syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13
56 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5856, 57op1std 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15
6056, 57op2ndd 6361 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15
6259, 61oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14
63 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14
6662, 65oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13
6755, 66eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . 12
68 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13
69 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13
7068, 69elmap 7045 . . . . . . . . . . . 12
7167, 70syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11
7259, 61oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14 cat cat
7372, 65oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13 cat cat
7455, 73eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . 12 cat cat
75 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13 cat
7675, 69elmap 7045 . . . . . . . . . . . 12 cat cat
7774, 76syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11 cat cat
7871, 77bibi12d 314 . . . . . . . . . 10 cat cat
7978ralxp 5019 . . . . . . . . 9 cat cat
8052, 79sylibr 205 . . . . . . . 8 cat
81 ralbi 2844 . . . . . . . 8 cat cat
8280, 81syl 16 . . . . . . 7 cat
83823anbi3d 1261 . . . . . 6 cat
84 elixp2 7069 . . . . . 6
85 elixp2 7069 . . . . . 6 cat cat
8683, 84, 853bitr4g 281 . . . . 5 cat
8712ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 Subcat
8813ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
89 eqid 2438 . . . . . . . . 9
9011adantr 453 . . . . . . . . . 10
9190ffvelrnda 5873 . . . . . . . . 9
9218, 87, 88, 89, 91subcid 14049 . . . . . . . 8 cat
9392eqeq2d 2449 . . . . . . 7 cat
94 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 comp comp
9518, 14, 20, 13, 15, 94rescco 14037 . . . . . . . . . . . . 13 comp comp cat
9695ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 comp comp cat
9796oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11 comp comp cat
9897oveqd 6101 . . . . . . . . . 10 comp comp cat
9998eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9 comp comp comp comp cat
100992ralbidv 2749 . . . . . . . 8 comp comp comp comp cat
1011002ralbidv 2749 . . . . . . 7 comp comp comp comp cat
10293, 101anbi12d 693 . . . . . 6 comp comp cat comp comp cat
103102ralbidva 2723 . . . . 5 comp comp cat comp comp cat
10426, 86, 1033anbi123d 1255 . . . 4 comp comp cat cat cat comp comp cat
105 funcres2b.a . . . . 5
106 funcres2b.h . . . . 5
107 eqid 2438 . . . . 5
108 eqid 2438 . . . . 5 comp comp
109 simpr 449 . . . . 5
11020adantr 453 . . . . 5
111105, 14, 106, 33, 107, 89, 108, 94, 109, 110isfunc 14066 . . . 4 comp comp
112 eqid 2438 . . . . 5 cat cat
113 eqid 2438 . . . . 5 cat cat
114 eqid 2438 . . . . 5 cat cat
115 eqid 2438 . . . . 5 comp cat comp cat
11618, 12subccat 14050 . . . . . 6 cat
117116adantr 453 . . . . 5 cat
118105, 112, 106, 113, 107, 114, 108, 115, 109, 117isfunc 14066 . . . 4 cat cat cat cat comp comp cat
119104, 111, 1183bitr4d 278 . . 3 cat
120119ex 425 . 2 cat
1215, 10, 120pm5.21ndd 345 1 cat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  cop 3819   class class class wbr 4215   cxp 4879   crn 4882   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351   cmap 7021  cixp 7066  cbs 13474   chom 13545  compcco 13546  ccat 13894  ccid 13895   cat cresc 14013  Subcatcsubc 14014   cfunc 14056 This theorem is referenced by:  funcres2  14100  funcres2c  14103  fthres2b  14132 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-hom 13558  df-cco 13559  df-cat 13898  df-cid 13899  df-homf 13900  df-ssc 14015  df-resc 14016  df-subc 14017  df-func 14060
 Copyright terms: Public domain W3C validator