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Theorem funcres2b 14057
Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2b.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
funcres2b.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
funcres2b.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
funcres2b.s  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
funcres2b.1  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
funcres2b.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
funcres2b  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, D, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, H, y   
x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem funcres2b
Dummy variables  f 
g  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4181 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
2 funcrcl 14023 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
31, 2sylbi 188 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
43simpld 446 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  C  e.  Cat )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  ->  C  e.  Cat )
)
6 df-br 4181 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) )
7 funcrcl 14023 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) )  -> 
( C  e.  Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat ) )
86, 7sylbi 188 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  ( C  e. 
Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
)
98simpld 446 . . 3  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  C  e.  Cat )
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) G  ->  C  e.  Cat )
)
11 funcres2b.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
12 funcres2b.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
13 funcres2b.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
14 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
1512, 13, 14subcss1 14002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  D ) )
16 fss 5566 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> S  /\  S  C_  ( Base `  D
) )  ->  F : A --> ( Base `  D
) )
1711, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  D ) )
18 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`cat 
R )  =  ( D  |`cat  R )
19 subcrcl 13979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  D  e.  Cat )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2118, 14, 20, 13, 15rescbas 13992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
22 feq3 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  -> 
( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2411, 23mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
2517, 242thd 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2625adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A
--> ( Base `  ( D  |`cat  R ) ) ) )
27 funcres2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2827adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x G y ) : Y --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) )
29 frn 5564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
3112ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
3213ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
33 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
3411ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  F : A
--> S )
35 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3634, 35ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
37 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
3834, 37ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  y )  e.  S
)
3931, 32, 33, 36, 38subcss2 14003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  C_  ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
4030, 39sstrd 3326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
4140, 302thd 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
(  Hom  `  D ) ( F `  y
) )  <->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4241anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
(  Hom  `  D ) ( F `  y
) ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) ) )
43 df-f 5425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
(  Hom  `  D ) ( F `  y
) ) ) )
44 df-f 5425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4542, 43, 443bitr4g 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) ) )
4618, 14, 20, 13, 15reschom 13993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  =  (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  =  (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) )
4847oveqd 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) )
49 feq3 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
) R ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) )  ->  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
5145, 50bitrd 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
5251ralrimivva 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
53 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
54 df-ov 6051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
5553, 54syl6eqr 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
56 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
57 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5856, 57op1std 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5958fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
6056, 57op2ndd 6325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
6160fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
6259, 61oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
63 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
64 df-ov 6051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
6563, 64syl6eqr 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
6662, 65oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
6755, 66eleq12d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
68 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  e. 
_V
69 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x H y )  e. 
_V
7068, 69elmap 7009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) (  Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) (  Hom  `  D )
( F `  y
) ) )
7167, 70syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) ) )
7259, 61oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `  x
) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7372, 65oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
7455, 73eleq12d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
75 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  e.  _V
7675, 69elmap 7009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7774, 76syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) ) )
7871, 77bibi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <-> 
( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) ) )
7978ralxp 4983 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) (  Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) )
8052, 79sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
81 ralbi 2810 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
83823anbi3d 1260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A )  /\  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) ) )
84 elixp2 7033 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) )
85 elixp2 7033 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8683, 84, 853bitr4g 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8712ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  (Subcat `  D )
)
8813ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
89 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
9011adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  F : A
--> S )
9190ffvelrnda 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  S )
9218, 87, 88, 89, 91subcid 14007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) )
9392eqeq2d 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) ) )
94 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9518, 14, 20, 13, 15, 94rescco 13995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) ) )
9695ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R )
) )
9796oveqd 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) )
9897oveqd 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  D ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) )  =  ( ( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  f ) ) )
9998eqeq2d 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <-> 
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
100992ralbidv 2716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
1011002ralbidv 2716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
10293, 101anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
103102ralbidva 2690 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. x  e.  A  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
10426, 86, 1033anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( F : A --> ( Base `  D )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) )  <->  ( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
105 funcres2b.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  C
)
106 funcres2b.h . . . . 5  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
107 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
108 eqid 2412 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
109 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
11020adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
111105, 14, 106, 33, 107, 89, 108, 94, 109, 110isfunc 14024 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  ( F : A --> ( Base `  D
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) ) ) )
112 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)
113 eqid 2412 . . . . 5  |-  (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
)  =  (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
)
114 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Id
`  ( D  |`cat  R
) )  =  ( Id `  ( D  |`cat 
R ) )
115 eqid 2412 . . . . 5  |-  (comp `  ( D  |`cat  R ) )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) )
11618, 12subccat 14008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
117116adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( D  |`cat 
R )  e.  Cat )
118105, 112, 106, 113, 107, 114, 108, 115, 109, 117isfunc 14024 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <-> 
( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
119104, 111, 1183bitr4d 277 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
120119ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) ) )
1215, 10, 120pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   <.cop 3785   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   ran crn 4846    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1stc1st 6314   2ndc2nd 6315    ^m cmap 6985   X_cixp 7030   Basecbs 13432    Hom chom 13503  compcco 13504   Catccat 13852   Idccid 13853    |`cat cresc 13971  Subcatcsubc 13972    Func cfunc 14014
This theorem is referenced by:  funcres2  14058  funcres2c  14061  fthres2b  14090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-hom 13516  df-cco 13517  df-cat 13856  df-cid 13857  df-homf 13858  df-ssc 13973  df-resc 13974  df-subc 13975  df-func 14018
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