Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsect Structured version   Unicode version

Theorem funcsect 14074
 Description: The image of a section under a functor is a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsect.b
funcsect.s Sect
funcsect.t Sect
funcsect.f
funcsect.x
funcsect.y
funcsect.m
Assertion
Ref Expression
funcsect

Proof of Theorem funcsect
StepHypRef Expression
1 funcsect.m . . . . . 6
2 funcsect.b . . . . . . 7
3 eqid 2438 . . . . . . 7
4 eqid 2438 . . . . . . 7 comp comp
5 eqid 2438 . . . . . . 7
6 funcsect.s . . . . . . 7 Sect
7 funcsect.f . . . . . . . . . 10
8 df-br 4216 . . . . . . . . . 10
97, 8sylib 190 . . . . . . . . 9
10 funcrcl 14065 . . . . . . . . 9
119, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211simpld 447 . . . . . . 7
13 funcsect.x . . . . . . 7
14 funcsect.y . . . . . . 7
152, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14issect 13984 . . . . . 6 comp
161, 15mpbid 203 . . . . 5 comp
1716simp3d 972 . . . 4 comp
1817fveq2d 5735 . . 3 comp
19 eqid 2438 . . . 4 comp comp
2016simp1d 970 . . . 4
2116simp2d 971 . . . 4
222, 3, 4, 19, 7, 13, 14, 13, 20, 21funcco 14073 . . 3 comp comp
23 eqid 2438 . . . 4
242, 5, 23, 7, 13funcid 14072 . . 3
2518, 22, 243eqtr3d 2478 . 2 comp
26 eqid 2438 . . 3
27 eqid 2438 . . 3
28 funcsect.t . . 3 Sect
2911simprd 451 . . 3
302, 26, 7funcf1 14068 . . . 4
3130, 13ffvelrnd 5874 . . 3
3230, 14ffvelrnd 5874 . . 3
332, 3, 27, 7, 13, 14funcf2 14070 . . . 4
3433, 20ffvelrnd 5874 . . 3
352, 3, 27, 7, 14, 13funcf2 14070 . . . 4
3635, 21ffvelrnd 5874 . . 3
3726, 27, 19, 23, 28, 29, 31, 32, 34, 36issect2 13985 . 2 comp
3825, 37mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cop 3819   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   chom 13545  compcco 13546  ccat 13894  ccid 13895  Sectcsect 13975   cfunc 14056 This theorem is referenced by:  funcinv  14075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-ixp 7067  df-sect 13978  df-func 14060
 Copyright terms: Public domain W3C validator