Theorem fundmen 4428

Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98.

Hypothesis

Ref	Expression
fundmen.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
fundmen	|- (Fun F -> dom F ~~ F)

Proof of Theorem fundmen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmen.1	. . . 4 |- F e. V
2	1	dmex 3360	. . 3 |- dom F e. V
3	2	a1i 8	. 2 |- (Fun F -> dom F e. V)
4		funfvop 3803	. . 3 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> <.x, (F` x)>. e. F)
5	4	ex 373	. 2 |- (Fun F -> (x e. dom F -> <.x, (F` x)>. e. F))
6		funrel 3533	. . 3 |- (Fun F -> Rel F)
7		elreldm 3338	. . . 4 |- ((Rel F /\ y e. F) -> |^||^|y e. dom F)
8	7	ex 373	. . 3 |- (Rel F -> (y e. F -> |^||^|y e. dom F))
9	6, 8	syl 10	. 2 |- (Fun F -> (y e. F -> |^||^|y e. dom F))
10		ssel2 2064	. . . . . . . 8 |- ((F (_ (V X. V) /\ y e. F) -> y e. (V X. V))
11		df-rel 3185	. . . . . . . . 9 |- (Rel F <-> F (_ (V X. V))
12	6, 11	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (Fun F -> F (_ (V X. V))
13	10, 12	sylan 448	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ y e. F) -> y e. (V X. V))
14		elvv 3228	. . . . . . 7 |- (y e. (V X. V) <-> E.zE.w y = <.z, w>.)
15	13, 14	sylib 198	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ y e. F) -> E.zE.w y = <.z, w>.)
16		eqeq1 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = |^||^|y -> (x = z <-> |^||^|y = z))
17		inteq 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = <.z, w>. -> |^|y = |^|<.z, w>.)
18	17	inteqd 2538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = <.z, w>. -> |^||^|y = |^||^|<.z, w>.)
19		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. V
20	19	op1stb 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- |^||^|<.z, w>. = z
21	18, 20	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = <.z, w>. -> |^||^|y = z)
22	16, 21	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> x = z))
23		opeq1 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> <.x, w>. = <.z, w>.)
24	22, 23	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> <.x, w>. = <.z, w>.))
25	24	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> <.x, w>. = <.z, w>.)
26		eqeq2 1484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.x, w>. = <.z, w>. -> (y = <.x, w>. <-> y = <.z, w>.))
27	26	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z, w>. -> (<.x, w>. = <.z, w>. -> y = <.x, w>.))
28	27	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> (<.x, w>. = <.z, w>. -> y = <.x, w>.))
29	25, 28	mpd 26	. . . . . . . . . . 11 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> y = <.x, w>.)
30	29	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- ((y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y) -> y = <.x, w>.)
31	30	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> y = <.x, w>.)
32	29	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> (y e. F <-> <.x, w>. e. F))
33	32	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (y e. F <-> <.x, w>. e. F))
34		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
35	34	funopfv 3751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Fun F -> (<.x, w>. e. F -> (F` x) = w))
36	35	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (<.x, w>. e. F -> (F` x) = w))
37	33, 36	sylbid 203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (y e. F -> (F` x) = w))
38	37	exp32 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> (y e. F -> (F` x) = w))))
39	38	com24 37	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun F -> (y e. F -> (y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> (F` x) = w))))
40	39	imp43 370	. . . . . . . . . 10 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> (F` x) = w)
41	40	opeq2d 2494	. . . . . . . . 9 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> <.x, (F` x)>. = <.x, w>.)
42	31, 41	eqtr4d 1510	. . . . . . . 8 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> y = <.x, (F` x)>.)
43	42	exp32 377	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.)))
44	43	19.23advv 1297	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (E.zE.w y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.)))
45	15, 44	mpd 26	. . . . 5 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.))
46	45	adantrl 394	. . . 4 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.))
47		inteq 2536	. . . . . 6 |- (y = <.x, (F` x)>. -> |^|y = |^|<.x, (F` x)>.)
48	47	inteqd 2538	. . . . 5 |- (y = <.x, (F` x)>. -> |^||^|y = |^||^|<.x, (F` x)>.)
49		visset 1813	. . . . . 6 |- x e. V
50	49	op1stb 2913	. . . . 5 |- |^||^|<.x, (F` x)>. = x
51	48, 50	syl6req 1524	. . . 4 |- (y = <.x, (F` x)>. -> x = |^||^|y)
52	46, 51	impbid1 517	. . 3 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^||^|y <-> y = <.x, (F` x)>.))
53	52	ex 373	. 2 |- (Fun F -> ((x e. dom F /\ y e. F) -> (x = |^||^|y <-> y = <.x, (F` x)>.)))
54	3, 5, 9, 53	en3d 4401	1 |- (Fun F -> dom F ~~ F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811   (_ wss 2047  <.cop 2411  |^|cint 2533   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176  ` cfv 3182   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  infmap2 7581

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-en 4368

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