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Theorem fundmpss 25395
Description: If a class  F is a proper subset of a function  G, then  dom  F  C.  dom  G. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables  p  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3444 . . . . 5  |-  ( F 
C.  G  ->  F  C_  G )
2 dmss 5072 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( F 
C.  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
43a1i 11 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C_ 
dom  G ) )
5 pssdif 3692 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C.  G  ->  ( G  \  F )  =/=  (/) )
6 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  F )  =/=  (/)  <->  E. p  p  e.  ( G  \  F
) )
75, 6sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( F 
C.  G  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
87adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
9 funrel 5474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  G )
10 reldif 4997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
12 elrel 4981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  p  =  <. x ,  y >.
)
13 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( G  \  F ) ) )
14 df-br 4216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( G  \  F ) )
1513, 14syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  x ( G 
\  F ) y ) )
1615biimpcd 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( G  \  F )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
1716adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
18172eximdv 1635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  ( E. x E. y  p  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y )
2019ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( G  \  F
)  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2221adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F
) y ) )
23 difss 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
\  F )  C_  G
2423ssbri 4257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
2524eximi 1586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  x ( G 
\  F ) y  ->  E. y  x G y )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  E. y  x G y ) )
27 brdif 4263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  ( x G y  /\  -.  x F y ) )
2827simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  -.  x F y )
2928adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  x F
y )
301ssbrd 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C.  G  ->  (
x F z  ->  x G z ) )
3130ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x G
z ) )
3227simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
33 dffun2 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) ) )
3433simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
G  ->  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
35 sp 1764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
3635sps 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
3736sps 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z )  -> 
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
3834, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
39 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y  <->  x F
z ) )
4039biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
x F z  ->  x F y ) )
4138, 40syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) )
4241exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
G  ->  ( x G y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4332, 42syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
G  ->  ( x
( G  \  F
) y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4443imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  G  /\  x
( G  \  F
) y )  -> 
( x G z  ->  ( x F z  ->  x F
y ) ) )
4544adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x G z  ->  ( x F z  ->  x F y ) ) )
4645com23 75 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  ( x G z  ->  x F y ) ) )
4731, 46mpdd 39 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x F
y ) )
4847exlimdv 1647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( E. z  x F z  ->  x F y ) )
4929, 48mtod 171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  E. z  x F z )
5049ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5150exlimdv 1647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5226, 51jcad 521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5352eximdv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. x E. y  x ( G  \  F
) y  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5422, 53syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5554exlimdv 1647 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. p  p  e.  ( G  \  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
568, 55mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
57 nss 3408 . . . . . 6  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F ) )
58 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5958eldm 5070 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y  x G y )
6058eldm 5070 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. z  x F z )
6160notbii 289 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  dom  F  <->  -. 
E. z  x F z )
6259, 61anbi12i 680 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6362exbii 1593 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6457, 63bitri 242 . . . . 5  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6556, 64sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  -.  dom  G  C_  dom  F )
6665ex 425 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  -.  dom  G 
C_  dom  F )
)
674, 66jcad 521 . 2  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  ( dom 
F  C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) ) )
68 dfpss3 3435 . 2  |-  ( dom 
F  C.  dom  G  <->  ( dom  F 
C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) )
6967, 68syl6ibr 220 1  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   <.cop 3819   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   Rel wrel 4886   Fun wfun 5451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-fun 5459
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