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Theorem fundmpss 24122
Description: If a class  F is a proper subset of a function  G, then  dom  F  C.  dom  G. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables  p  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3271 . . . . 5  |-  ( F 
C.  G  ->  F  C_  G )
2 dmss 4878 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( F 
C.  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
43a1i 10 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C_ 
dom  G ) )
5 pssdif 3516 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C.  G  ->  ( G  \  F )  =/=  (/) )
6 n0 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  F )  =/=  (/)  <->  E. p  p  e.  ( G  \  F
) )
75, 6sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( F 
C.  G  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
9 funrel 5272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  G )
10 reldif 4805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
12 elrel 4789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  p  =  <. x ,  y >.
)
13 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( G  \  F ) ) )
14 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( G  \  F ) )
1513, 14syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  x ( G 
\  F ) y ) )
1615biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( G  \  F )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
18172eximdv 1610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  ( E. x E. y  p  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
1912, 18mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y )
2019ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( G  \  F
)  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2111, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F
) y ) )
23 difss 3303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
\  F )  C_  G
2423ssbri 4065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
2524eximi 1563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  x ( G 
\  F ) y  ->  E. y  x G y )
2625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  E. y  x G y ) )
27 brdif 4071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  ( x G y  /\  -.  x F y ) )
2827simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  -.  x F y )
2928adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  x F
y )
301ssbrd 4064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C.  G  ->  (
x F z  ->  x G z ) )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x G
z ) )
3227simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
33 dffun2 5265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) ) )
3433simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
G  ->  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
35 sp 1716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
3635sps 1739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
3736sps 1739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z )  -> 
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
3834, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
39 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y  <->  x F
z ) )
4039biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
x F z  ->  x F y ) )
4138, 40syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) )
4241exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
G  ->  ( x G y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4332, 42syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
G  ->  ( x
( G  \  F
) y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4443imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  G  /\  x
( G  \  F
) y )  -> 
( x G z  ->  ( x F z  ->  x F
y ) ) )
4544adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x G z  ->  ( x F z  ->  x F y ) ) )
4645com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  ( x G z  ->  x F y ) ) )
4731, 46mpdd 36 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x F
y ) )
4847exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( E. z  x F z  ->  x F y ) )
4929, 48mtod 168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  E. z  x F z )
5049ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5150exlimdv 1664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5226, 51jcad 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5352eximdv 1608 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. x E. y  x ( G  \  F
) y  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5422, 53syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5554exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. p  p  e.  ( G  \  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
568, 55mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
57 nss 3236 . . . . . 6  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F ) )
58 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5958eldm 4876 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y  x G y )
6058eldm 4876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. z  x F z )
6160notbii 287 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  dom  F  <->  -. 
E. z  x F z )
6259, 61anbi12i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6362exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6457, 63bitri 240 . . . . 5  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6556, 64sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  -.  dom  G  C_  dom  F )
6665ex 423 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  -.  dom  G 
C_  dom  F )
)
674, 66jcad 519 . 2  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  ( dom 
F  C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) ) )
68 dfpss3 3262 . 2  |-  ( dom 
F  C.  dom  G  <->  ( dom  F 
C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) )
6967, 68syl6ibr 218 1  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   <.cop 3643   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-fun 5257
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