Theorem funeq 3535

Description: Equality theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funeq	|- (A = B -> (Fun A <-> Fun B))

Proof of Theorem funeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funss 3534	. . . 4 |- (B (_ A -> (Fun A -> Fun B))
2		funss 3534	. . . 4 |- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))
3	1, 2	anim12i 333	. . 3 |- ((B (_ A /\ A (_ B) -> ((Fun A -> Fun B) /\ (Fun B -> Fun A)))
4	3	ancoms 436	. 2 |- ((A (_ B /\ B (_ A) -> ((Fun A -> Fun B) /\ (Fun B -> Fun A)))
5		eqss 2077	. 2 |- (A = B <-> (A (_ B /\ B (_ A))
6		dfbi2 514	. 2 |- ((Fun A <-> Fun B) <-> ((Fun A -> Fun B) /\ (Fun B -> Fun A)))
7	4, 5, 6	3imtr4 219	1 |- (A = B -> (Fun A <-> Fun B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   (_ wss 2047  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  funopg 3547  fununi 3563  funcnvuni 3564  cnvresid 3569  fneq1 3582  f1eq1 3660  f1cnv 3666  f1co 3667  f10 3713  f1oi 3717  tfrlem10 3920  tz7.44lem1 3927  tz7.48-2 3957  abianfp 3962  funoprabg 4010  th3qcor 4316  elpm 4336  ssdomg 4408  sbthlem7 4453  sbthlem8 4454  tz9.12lem2 4660  tz9.12lem3 4661  zorn2lem4 4791  axaddopr 5265  axmulopr 5266  idcn 7766  vsfval 8254  ajfuni 8520  ajfun 8521  dfrelog 8756  funadj 9813  funcnvadj 9817  cmpfun 10467  isalg 10653  algi 10660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain