MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Unicode version

Theorem funfvbrb 5783
Description: Two ways to say that  A is in the domain of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 5782 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  <. A ,  ( F `
 A ) >.  e.  F )
2 df-br 4155 . . 3  |-  ( A F ( F `  A )  <->  <. A , 
( F `  A
) >.  e.  F )
31, 2sylibr 204 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  A F ( F `  A ) )
4 funrel 5412 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
5 releldm 5043 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
64, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
73, 6impbida 806 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   <.cop 3761   class class class wbr 4154   dom cdm 4819   Rel wrel 4824   Fun wfun 5389   ` cfv 5395
This theorem is referenced by:  fmptco  5841  fpwwe2lem13  8451  fpwwe2  8452  climdm  12276  invco  13924  funciso  13999  ffthiso  14054  fuciso  14100  setciso  14174  catciso  14190  lmcau  19137  dvcnp  19673  dvadd  19694  dvmul  19695  dvaddf  19696  dvmulf  19697  dvco  19701  dvcof  19702  dvcjbr  19703  dvcnvlem  19728  dvferm1  19737  dvferm2  19739  ulmdm  20177  ulmdvlem3  20186  minvecolem4a  22228  hlimf  22589  hhsscms  22628  occllem  22654  occl  22655  chscllem4  22991  fmptcof2  23919  heiborlem9  26220  bfplem1  26223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-fv 5403
  Copyright terms: Public domain W3C validator