MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funfvbrb Unicode version

Theorem funfvbrb 5638
Description: Two ways to say that  A is in the domain of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
funfvbrb  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )

Proof of Theorem funfvbrb
StepHypRef Expression
1 funfvop 5637 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  <. A ,  ( F `
 A ) >.  e.  F )
2 df-br 4024 . . 3  |-  ( A F ( F `  A )  <->  <. A , 
( F `  A
) >.  e.  F )
31, 2sylibr 203 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A  e.  dom  F )  ->  A F ( F `  A ) )
4 funrel 5272 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
5 releldm 4911 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
64, 5sylan 457 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  A F ( F `  A ) )  ->  A  e.  dom  F )
73, 6impbida 805 1  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  dom  F  <->  A F
( F `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  fmptco  5691  fpwwe2lem13  8264  fpwwe2  8265  climdm  12028  invco  13673  funciso  13748  ffthiso  13803  fuciso  13849  setciso  13923  catciso  13939  lmcau  18738  dvcnp  19268  dvadd  19289  dvmul  19290  dvaddf  19291  dvmulf  19292  dvco  19296  dvcof  19297  dvcjbr  19298  dvcnvlem  19323  dvferm1  19332  dvferm2  19334  ulmdvlem3  19779  minvecolem4a  21456  hlimf  21817  hhsscms  21856  occllem  21882  occl  21883  chscllem4  22219  fmptcof2  23229  heiborlem9  26543  bfplem1  26546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator