Theorem funimaexg 3575

Description: Axiom of Replacement using abbreviations. Axiom 39(vi) of [Quine] p. 284. Compare Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 29.

Assertion

Ref	Expression
funimaexg	|- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. V)

Proof of Theorem funimaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaeq2 3402	. . . . 5 |- (w = B -> (A"w) = (A"B))
2	1	eleq1d 1540	. . . 4 |- (w = B -> ((A"w) e. V <-> (A"B) e. V))
3	2	imbi2d 612	. . 3 |- (w = B -> ((Fun A -> (A"w) e. V) <-> (Fun A -> (A"B) e. V)))
4		dffun5 3529	. . . . 5 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
5	4	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (Fun A -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))
6		ax-17 971	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> A.z<.x, y>. e. A)
7	6	axrep4 2697	. . . . 5 |- (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z) -> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
8		isset 1814	. . . . . 6 |- ((A"w) e. V <-> E.z z = (A"w))
9		dfima3 3406	. . . . . . . . 9 |- (A"w) = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)}
10	9	eqeq2i 1485	. . . . . . . 8 |- (z = (A"w) <-> z = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)})
11		abeq2 1568	. . . . . . . 8 |- (z = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)} <-> A.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . . 7 |- (z = (A"w) <-> A.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
13	12	exbii 1051	. . . . . 6 |- (E.z z = (A"w) <-> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
14	8, 13	bitr 173	. . . . 5 |- ((A"w) e. V <-> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
15	7, 14	sylibr 200	. . . 4 |- (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z) -> (A"w) e. V)
16	5, 15	syl 10	. . 3 |- (Fun A -> (A"w) e. V)
17	3, 16	vtoclg 1847	. 2 |- (B e. C -> (Fun A -> (A"B) e. V))
18	17	impcom 351	1 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811  <.cop 2411  "cima 3173  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  funimaex 3576  resfunexg 3579  fnex 3607  carduniima 4890

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain