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Theorem funimass4 5716
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3280 . . 3  |-  ( ( F " A ) 
C_  B  <->  A. y
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
) )
2 eqcom 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
3 ssel 3285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  dom  F ) )
4 funbrfvb 5708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) )
54ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  dom  F  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  x F
y ) ) )
63, 5syl9 68 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  dom  F  ->  ( Fun  F  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( F `  x )  =  y  <-> 
x F y ) ) ) )
76imp31 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  y  <->  x F y ) )
82, 7syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( F `  x )  <->  x F
y ) )
98rexbidva 2666 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  x F
y ) )
10 vex 2902 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1110elima 5148 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( F " A )  <->  E. x  e.  A  x F
y )
129, 11syl6rbbr 256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
y  e.  ( F
" A )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) ) )
1312imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
14 r19.23v 2765 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
y  =  ( F `
 x )  -> 
y  e.  B )  <-> 
( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
1513, 14syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( y  e.  ( F " A )  ->  y  e.  B
)  <->  A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
1615albidv 1632 . . . 4  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( A. y ( y  e.  ( F " A
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) ) )
17 ralcom4 2917 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
) )
18 fvex 5682 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
19 eleq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  B  <->  ( F `  x )  e.  B
) )
2018, 19ceqsalv 2925 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  ( F `  x )  e.  B
)
2120ralbii 2673 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  =  ( F `  x
)  ->  y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
)
2217, 21bitr3i 243 . . . 4  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  =  ( F `  x )  ->  y  e.  B
)  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )
2316, 22syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  ( A. y ( y  e.  ( F " A
)  ->  y  e.  B )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
) )
241, 23syl5bb 249 . 2  |-  ( ( A  C_  dom  F  /\  Fun  F )  ->  (
( F " A
)  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
) )
2524ancoms 440 1  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   dom cdm 4818   "cima 4821   Fun wfun 5388   ` cfv 5394
This theorem is referenced by:  funimass3  5785  funimass5  5786  funconstss  5787  funimassov  6162  fnwelem  6397  cnfcomlem  7589  dfac12lem2  7957  ackbij1b  8052  wunom  8528  phimullem  13095  frmdss2  14735  cntzmhm2  15065  dprd2da  15527  1stckgenlem  17506  txcnp  17573  ptcnplem  17574  xkopt  17608  xkoinjcn  17640  tgqtop  17665  uzrest  17850  cnflf2  17956  lmflf  17958  txflf  17959  cnextcn  18019  ghmcnp  18065  ucnima  18232  metcnp  18461  tchcph  19065  ovolficcss  19233  opnmbllem  19360  ellimc2  19631  ellimc3  19633  deg1n0ima  19879  dvloglem  20406  logf1o2  20408  dchrghm  20907  usgrares1  21290  xrofsup  23962  erdszelem2  24657  cvmlift3lem7  24791  filnetlem4  26101  cnres2  26163  frlmsslsp  26917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-fv 5402
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