Theorem funimass4 3763

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . . . . . . . 12 |- (A (_ dom F -> (x e. A -> x e. dom F))
2		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
3	2	funbrfvb 3755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> ((F` x) = y <-> xFy))
4	3	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x e. dom F -> ((F` x) = y <-> xFy)))
5	1, 4	syl9 57	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ dom F -> (Fun F -> (x e. A -> ((F` x) = y <-> xFy))))
6	5	imp31 362	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> ((F` x) = y <-> xFy))
7		eqcom 1477	. . . . . . . . . 10 |- (y = (F` x) <-> (F` x) = y)
8	6, 7	syl5bb 532	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> (y = (F` x) <-> xFy))
9	8	rexbidva 1660	. . . . . . . 8 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (E.x e. A y = (F` x) <-> E.x e. A xFy))
10	2	elima 3408	. . . . . . . 8 |- (y e. (F"A) <-> E.x e. A xFy)
11	9, 10	syl6rbbr 539	. . . . . . 7 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (y e. (F"A) <-> E.x e. A y = (F` x)))
12	11	imbi1d 613	. . . . . 6 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B)))
13		r19.23v 1741	. . . . . 6 |- (A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B))
14	12, 13	syl6bbr 538	. . . . 5 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
15	14	albidv 1278	. . . 4 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
16		ralcom4 1823	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B))
17		fvex 3732	. . . . . . 7 |- (F` x) e. V
18		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (y = (F` x) -> (y e. B <-> (F` x) e. B))
19	17, 18	ceqsalv 1827	. . . . . 6 |- (A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> (F` x) e. B)
20	19	ralbii 1667	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
21	16, 20	bitr3 175	. . . 4 |- (A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
22	15, 21	syl6bb 536	. . 3 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B))
23		dfss2 2058	. . 3 |- ((F"A) (_ B <-> A.y(y e. (F"A) -> y e. B))
24	22, 23	syl5bb 532	. 2 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))
25	24	ancoms 436	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  "cima 3173  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  funimass3 3806  funimass5 3807  funconstss 3808

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain