Theorem funin 3572

Description: The intersection with a function is a function. Exercise 14(a) of [Enderton] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
funin	|- (Fun F -> Fun (F i^i G))

Proof of Theorem funin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin1 3268	. . 3 |- (Rel F -> Rel (F i^i G))
2		moan 1424	. . . . 5 |- (E*y xFy -> E*y(<.x, y>. e. G /\ xFy))
3		ancom 437	. . . . . . 7 |- ((<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> (xFy /\ <.x, y>. e. G))
4		elin 2210	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (F i^i G) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
5		df-br 2625	. . . . . . . 8 |- (x(F i^i G)y <-> <.x, y>. e. (F i^i G))
6		df-br 2625	. . . . . . . . 9 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
7	6	anbi1i 483	. . . . . . . 8 |- ((xFy /\ <.x, y>. e. G) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
8	4, 5, 7	3bitr4 183	. . . . . . 7 |- (x(F i^i G)y <-> (xFy /\ <.x, y>. e. G))
9	3, 8	bitr4 176	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> x(F i^i G)y)
10	9	mobii 1407	. . . . 5 |- (E*y(<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> E*y x(F i^i G)y)
11	2, 10	sylib 198	. . . 4 |- (E*y xFy -> E*y x(F i^i G)y)
12	11	19.20i 994	. . 3 |- (A.xE*y xFy -> A.xE*y x(F i^i G)y)
13	1, 12	anim12i 333	. 2 |- ((Rel F /\ A.xE*y xFy) -> (Rel (F i^i G) /\ A.xE*y x(F i^i G)y))
14		dffunmo 3537	. 2 |- (Fun F <-> (Rel F /\ A.xE*y xFy))
15		dffunmo 3537	. 2 |- (Fun (F i^i G) <-> (Rel (F i^i G) /\ A.xE*y x(F i^i G)y))
16	13, 14, 15	3imtr4 219	1 |- (Fun F -> Fun (F i^i G))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   e. wcel 960  E*wmo 1383   i^i cin 2049  <.cop 2415   class class class wbr 2624  Rel wrel 3181  Fun wfun 3182

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-fun 3198

Copyright terms: Public domain