MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funopab Unicode version

Theorem funopab 5303
Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
funopab  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  A. x E* y ph )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem funopab
StepHypRef Expression
1 relopab 4828 . . 3  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ph }
2 nfopab1 4101 . . . 4  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
3 nfopab2 4102 . . . 4  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
42, 3dffun6f 5285 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ( Rel  {
<. x ,  y >.  |  ph }  /\  A. x E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y ) )
51, 4mpbiran 884 . 2  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  A. x E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y )
6 df-br 4040 . . . . 5  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
7 opabid 4287 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ph )
86, 7bitri 240 . . . 4  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  ph )
98mobii 2192 . . 3  |-  ( E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y  <->  E* y ph )
109albii 1556 . 2  |-  ( A. x E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y  <->  A. x E* y ph )
115, 10bitri 240 1  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  A. x E* y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176   A.wal 1530    e. wcel 1696   E*wmo 2157   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   Rel wrel 4710   Fun wfun 5265
This theorem is referenced by:  funopabeq  5304  funco  5308  isarep2  5348  fnopabg  5383  fvopab3ig  5615  opabex  5760  zfrep6  5764  funoprabg  5959  opabiotafun  6307  tz7.44lem1  6434  ajfuni  21454  funadj  22482  abrexdomjm  23181  mptfnf  23241  abrexdom  26508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-fun 5273
  Copyright terms: Public domain W3C validator