MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funopab Unicode version

Theorem funopab 5287
Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair. (Contributed by NM, 16-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
funopab  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  A. x E* y ph )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem funopab
StepHypRef Expression
1 relopab 4812 . . 3  |-  Rel  { <. x ,  y >.  |  ph }
2 nfopab1 4085 . . . 4  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
3 nfopab2 4086 . . . 4  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
42, 3dffun6f 5269 . . 3  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ( Rel  {
<. x ,  y >.  |  ph }  /\  A. x E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y ) )
51, 4mpbiran 884 . 2  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  A. x E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y )
6 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
7 opabid 4271 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ph )
86, 7bitri 240 . . . 4  |-  ( x { <. x ,  y
>.  |  ph } y  <->  ph )
98mobii 2179 . . 3  |-  ( E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y  <->  E* y ph )
109albii 1553 . 2  |-  ( A. x E* y  x { <. x ,  y >.  |  ph } y  <->  A. x E* y ph )
115, 10bitri 240 1  |-  ( Fun 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  A. x E* y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176   A.wal 1527    e. wcel 1684   E*wmo 2144   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249
This theorem is referenced by:  funopabeq  5288  funco  5292  isarep2  5332  fnopabg  5367  fvopab3ig  5599  opabex  5744  zfrep6  5748  funoprabg  5943  opabiotafun  6291  tz7.44lem1  6418  ajfuni  21438  funadj  22466  abrexdomjm  23165  mptfnf  23226  abrexdom  26405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-fun 5257
  Copyright terms: Public domain W3C validator