Theorem funopfvb 3756

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership. Theorem 4.3(ii) of [Monk1] p. 42.

Hypothesis

Ref	Expression
funbrfvb.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funopfvb	|- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> <.A, B>. e. F))

Proof of Theorem funopfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funbrfvb.1	. . 3 |- B e. V
2	1	funbrfvb 3755	. 2 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))
3		df-br 2620	. 2 |- (AFB <-> <.A, B>. e. F)
4	2, 3	syl6bb 536	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> <.A, B>. e. F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  <.cop 2411   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  dmfco 3773  fvco 3774  funfvop 3803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain