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Theorem funressnfv 27968
Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
funressnfv  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5174 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3 dmfco 5797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
43biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
54funfni 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
6 dmressnsn 27961 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) } )
7 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  <->  x  e.  { ( G `  X ) } ) )
8 elsn 3829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  <-> 
x  =  ( G `
 X ) )
9 dmressnsn 27961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X } )
10 dffun7 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  <->  ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
11 snidg 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  X  e.  { X } )
1211adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  { X } )
13 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { X }  =  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  { X } 
<->  X  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) ) )
1413eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  { X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( X  e. 
{ X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
1612, 15mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
17 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( G `
 X )  e. 
_V
1817isseti 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  E. z 
z  =  ( G `
 X )
19 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  =  ( G `  X )  <->  ( G `  X )  =  z )
20 fnbrfvb 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  =  z  <-> 
X G z ) )
2119, 20syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  <-> 
X G z ) )
2221biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  X G z ) )
23 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G `  X )  =  z  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
2423eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  =  ( G `  X )  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
2524biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G `  X ) F y  ->  (
z  =  ( G `
 X )  -> 
z F y ) )
2622, 25anim12ii 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  ( X G z  /\  z F y ) ) )
2726eximdv 1632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( E. z  z  =  ( G `  X )  ->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
2818, 27mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  E. z
( X G z  /\  z F y ) )
29 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  A )
30 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  y  e. 
_V
31 brcog 5039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( X  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3229, 30, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( F  o.  G
) y  <->  E. z
( X G z  /\  z F y ) ) )
3428, 33mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X ( F  o.  G )
y )
35 snidg 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  { X } )
3635biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) ) )
3730brres 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) )
3836, 37syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
X ( F  o.  G ) y ) )
3938ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  X ( F  o.  G )
y ) )
4034, 39mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )
4140ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
43 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( X  =  x  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4443eqcoms 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  X  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4544ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
4642, 45sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  x
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
4746alrimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  A. y
( ( G `  X ) F y  ->  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
48 moim 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. y ( ( G `
 X ) F y  ->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )  -> 
( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
5049ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
5150com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  ( E* y  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) )
5216, 51rspcimdv 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) )
5352ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( A. x  e. 
dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
5453com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
5554adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y )  ->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
5610, 55sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
5756com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) ) )
589, 57mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
5958imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( G `  X ) F y )
6017snid 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) }
6160biantru 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  X ) F y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( G `  X ) F y  <-> 
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
6362mobidv 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( E* y ( G `  X ) F y  <->  E* y
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
6459, 63mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
66 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
6730brres 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
6866, 67syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } )  <->  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } )  <-> 
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7069mobidv 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( E* y ( ( G `  X
) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `
 X ) } )  <->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7165, 70mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y )
7271ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
738, 72sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  ->  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
747, 73syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) ) )
7574com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
766, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
775, 76syl6com 33 . . . . . 6  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) )
7877a1d 23 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) ) )
7978imp31 422 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
8079pm2.43i 45 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8180ralrimiv 2788 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y )
82 dffun7 5479 . 2  |-  ( Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  /\  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
832, 81, 82sylanbrc 646 1  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2282   A.wral 2705   _Vcvv 2956   {csn 3814   class class class wbr 4212   dom cdm 4878    |` cres 4880    o. ccom 4882   Rel wrel 4883   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   ` cfv 5454
This theorem is referenced by:  afvco2  28016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-res 4890  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462
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