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Theorem funressnfv 28096
Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
funressnfv  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )

Proof of Theorem funressnfv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 4999 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
3 dmfco 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
43biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  X  e.  dom  G )  -> 
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
54funfni 5360 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  ->  ( G `  X )  e.  dom  F ) )
6 dmres 4992 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  =  ( { ( G `  X
) }  i^i  dom  F )
7 snssi 3775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  ->  { ( G `  X ) }  C_  dom  F )
8 df-ss 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ( G `  X
) }  C_  dom  F  <-> 
( { ( G `
 X ) }  i^i  dom  F )  =  { ( G `  X ) } )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  -> 
( { ( G `
 X ) }  i^i  dom  F )  =  { ( G `  X ) } )
106, 9syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) } )
11 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  <->  x  e.  { ( G `  X ) } ) )
12 elsn 3668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  <-> 
x  =  ( G `
 X ) )
13 dmres 4992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  ( { X }  i^i  dom  ( F  o.  G
) )
14 snssi 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  { X }  C_  dom  ( F  o.  G
) )
15 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { X }  C_  dom  ( F  o.  G
)  <->  ( { X }  i^i  dom  ( F  o.  G ) )  =  { X } )
1614, 15sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( { X }  i^i  dom  ( F  o.  G ) )  =  { X } )
1713, 16syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X } )
18 dffun7 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  <->  ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
19 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  ->  X  e.  { X } )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  { X } )
21 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { X }  =  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  { X } 
<->  X  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) ) )
2221eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  { X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( X  e. 
{ X }  <->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) ) )
2420, 23mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  X  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )
25 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( G `
 X )  e. 
_V
26 elisset 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G `  X )  e.  _V  ->  E. z 
z  =  ( G `
 X ) )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  E. z 
z  =  ( G `
 X )
28 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  =  ( G `  X )  <->  ( G `  X )  =  z )
29 fnbrfvb 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X )  =  z  <-> 
X G z ) )
3028, 29syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  <-> 
X G z ) )
3130biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  X G z ) )
32 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( G `  X )  =  z  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
3332eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  =  ( G `  X )  ->  (
( G `  X
) F y  <->  z F
y ) )
3433biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( G `  X ) F y  ->  (
z  =  ( G `
 X )  -> 
z F y ) )
3531, 34anim12ii 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( z  =  ( G `  X )  ->  ( X G z  /\  z F y ) ) )
3635eximdv 1612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( E. z  z  =  ( G `  X )  ->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
3727, 36mpi 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  E. z
( X G z  /\  z F y ) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  A )
39 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  y  e. 
_V
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  y  e.  _V )
41 brcog 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( X  e.  A  /\  y  e.  _V )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
4238, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  E. z ( X G z  /\  z F y ) ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( F  o.  G
) y  <->  E. z
( X G z  /\  z F y ) ) )
4437, 43mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X ( F  o.  G )
y )
45 snidg 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  { X } )
4645biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( F  o.  G ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) ) )
4739brres 4977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  ( X
( F  o.  G
) y  /\  X  e.  { X } ) )
4846, 47syl6rbbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( X  e.  A  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
X ( F  o.  G ) y ) )
4948ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  X ( F  o.  G )
y ) )
5044, 49mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  /\  ( G `  X ) F y )  ->  X (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )
5150ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
5251adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
53 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( X  =  x  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
5453eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  X  ->  ( X ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <-> 
x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
5554ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( X
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  <->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y ) )
5652, 55sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( ( G `  X ) F y  ->  x
( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
5756alrimiv 1621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  A. y
( ( G `  X ) F y  ->  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y ) )
58 moim 2202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. y ( ( G `
 X ) F y  ->  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y )  -> 
( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
)  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
6160com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G
) )  /\  x  =  X )  ->  ( E* y  x (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  (
( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) )
6224, 61rspcimdv 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  /\  X  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) )
6362ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( A. x  e. 
dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
6463com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. x  e.  dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) E* y  x ( ( F  o.  G
)  |`  { X }
) y  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
6564adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Rel  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  /\  A. x  e.  dom  (
( F  o.  G
)  |`  { X }
) E* y  x ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) y )  ->  ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `
 X ) F y ) ) ) )
6618, 65sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  =  { X }  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  E* y
( G `  X
) F y ) ) ) )
6766com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( ( F  o.  G )  |`  { X } )  =  { X }  ->  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) ) )
6817, 67mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  E* y ( G `  X ) F y ) ) )
6968imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( G `  X ) F y )
7025snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) }
71 iba 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G `  X )  e.  { ( G `
 X ) }  ->  ( ( G `
 X ) F y  <->  ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) ) )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  X ) F y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( G `  X ) F y  <-> 
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
7473mobidv 2191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( E* y ( G `  X ) F y  <->  E* y
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } ) ) )
7569, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } ) )
77 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
7839brres 4977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  X ) ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y  <->  ( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `  X ) } ) )
7977, 78syl6rbb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( G `  X ) F y  /\  ( G `  X )  e.  {
( G `  X
) } )  <->  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( ( ( G `
 X ) F y  /\  ( G `
 X )  e. 
{ ( G `  X ) } )  <-> 
x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8180mobidv 2191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  -> 
( E* y ( ( G `  X
) F y  /\  ( G `  X )  e.  { ( G `
 X ) } )  <->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8276, 81mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( G `
 X )  /\  ( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y )
8382ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G `  X )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8412, 83sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { ( G `
 X ) }  ->  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
8511, 84syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `
 X ) } ) y ) ) )
8685com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  =  {
( G `  X
) }  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
8710, 86syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  X )  e.  dom  F  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
885, 87syl6com 31 . . . . . 6  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( (
( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) )
8988a1d 22 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  -> 
( Fun  ( ( F  o.  G )  |` 
{ X } )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( ( X  e. 
dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) ) ) )
9089imp31 421 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G )  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `
 X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) ) )
9190pm2.43i 43 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  ->  E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
9291ralrimiv 2638 . 2  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y )
93 dffun7 5296 . 2  |-  ( Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  <->  ( Rel  ( F  |`  { ( G `  X ) } )  /\  A. x  e.  dom  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) E* y  x ( F  |`  { ( G `  X ) } ) y ) )
942, 92, 93sylanbrc 645 1  |-  ( ( ( X  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  Fun  ( ( F  o.  G )  |`  { X } ) )  /\  ( G  Fn  A  /\  X  e.  A ) )  ->  Fun  ( F  |`  { ( G `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E*wmo 2157   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709   Rel wrel 4710   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  afvco2  28144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279
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