Theorem funsn 3529

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. V
funsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funsn	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4 3514	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)))
2		funsn.1	. . 3 |- A e. V
3	2	relsn 3244	. 2 |- Rel {<.A, B>.}
4		eqtr3t 1486	. . . . 5 |- ((y = B /\ z = B) -> y = z)
5		opex 2772	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
6	5	elsnc 2421	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
7		visset 1804	. . . . . . 7 |- y e. V
8		funsn.2	. . . . . . 7 |- B e. V
9	7, 8	opth2 2789	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> y = B)
10	6, 9	sylbi 199	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} -> y = B)
11		opex 2772	. . . . . . 7 |- <.x, z>. e. V
12	11	elsnc 2421	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, z>. = <.A, B>.)
13		visset 1804	. . . . . . 7 |- z e. V
14	13, 8	opth2 2789	. . . . . 6 |- (<.x, z>. = <.A, B>. -> z = B)
15	12, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} -> z = B)
16	4, 10, 15	syl2an 454	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
17	16	ax-gen 960	. . 3 |- A.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
18	17	gen2 980	. 2 |- A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
19	1, 3, 18	mpbir2an 728	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  {csn 2399  <.cop 2401  Rel wrel 3165  Fun wfun 3166

This theorem is referenced by:  fun0 3530  f1osn 3704  fvsn 3779  tfrlem10 3905  ringsn 8100  1alg 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-fun 3182

Copyright terms: Public domain