Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funsnfsup Unicode version

Theorem funsnfsup 26268
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsup  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )

Proof of Theorem funsnfsup
StepHypRef Expression
1 cnvun 5189 . . . . 5  |-  `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } )
21imaeq1i 5112 . . . 4  |-  ( `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) " Z )  =  ( ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } ) " Z )
3 imaundir 5197 . . . 4  |-  ( ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } ) " Z
)  =  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )
42, 3eqtri 2386 . . 3  |-  ( `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) " Z )  =  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )
54eleq1i 2429 . 2  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )  e.  Fin )
6 dfdm4 4975 . . . . 5  |-  dom  { <. X ,  Y >. }  =  ran  `' { <. X ,  Y >. }
7 snfi 7084 . . . . . 6  |-  { X }  e.  Fin
8 dmsnopss 5248 . . . . . 6  |-  dom  { <. X ,  Y >. } 
C_  { X }
9 ssfi 7226 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  dom  { <. X ,  Y >. }  C_  { X } )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  e.  Fin )
107, 8, 9mp2an 653 . . . . 5  |-  dom  { <. X ,  Y >. }  e.  Fin
116, 10eqeltrri 2437 . . . 4  |-  ran  `' { <. X ,  Y >. }  e.  Fin
12 imassrn 5128 . . . 4  |-  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) 
C_  ran  `' { <. X ,  Y >. }
13 ssfi 7226 . . . 4  |-  ( ( ran  `' { <. X ,  Y >. }  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z )  C_  ran  `' { <. X ,  Y >. } )  ->  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin )
1411, 12, 13mp2an 653 . . 3  |-  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin
15 unfir 7272 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  ->  ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin ) )
16 unfi 7271 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin )  ->  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )  e.  Fin )
1715, 16impbii 180 . . 3  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  <->  ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin ) )
1814, 17mpbiran2 885 . 2  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )
195, 18bitri 240 1  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1715    u. cun 3236    C_ wss 3238   {csn 3729   <.cop 3732   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   ran crn 4793   "cima 4795   Fincfn 7006
This theorem is referenced by:  islindf4  26814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-fin 7010
  Copyright terms: Public domain W3C validator