Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funsnfsup Unicode version

Theorem funsnfsup 26633
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsup  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )

Proof of Theorem funsnfsup
StepHypRef Expression
1 cnvun 5236 . . . . 5  |-  `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } )
21imaeq1i 5159 . . . 4  |-  ( `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) " Z )  =  ( ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } ) " Z )
3 imaundir 5244 . . . 4  |-  ( ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } ) " Z
)  =  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )
42, 3eqtri 2424 . . 3  |-  ( `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) " Z )  =  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )
54eleq1i 2467 . 2  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )  e.  Fin )
6 dfdm4 5022 . . . . 5  |-  dom  { <. X ,  Y >. }  =  ran  `' { <. X ,  Y >. }
7 snfi 7146 . . . . . 6  |-  { X }  e.  Fin
8 dmsnopss 5301 . . . . . 6  |-  dom  { <. X ,  Y >. } 
C_  { X }
9 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  dom  { <. X ,  Y >. }  C_  { X } )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  e.  Fin )
107, 8, 9mp2an 654 . . . . 5  |-  dom  { <. X ,  Y >. }  e.  Fin
116, 10eqeltrri 2475 . . . 4  |-  ran  `' { <. X ,  Y >. }  e.  Fin
12 imassrn 5175 . . . 4  |-  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) 
C_  ran  `' { <. X ,  Y >. }
13 ssfi 7288 . . . 4  |-  ( ( ran  `' { <. X ,  Y >. }  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z )  C_  ran  `' { <. X ,  Y >. } )  ->  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin )
1411, 12, 13mp2an 654 . . 3  |-  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin
15 unfir 7334 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  ->  ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin ) )
16 unfi 7333 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin )  ->  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )  e.  Fin )
1715, 16impbii 181 . . 3  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  <->  ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin ) )
1814, 17mpbiran2 886 . 2  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )
195, 18bitri 241 1  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  islindf4  27176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072
  Copyright terms: Public domain W3C validator