Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funsnfsup Structured version   Unicode version

Theorem funsnfsup 26781
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsup  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )

Proof of Theorem funsnfsup
StepHypRef Expression
1 cnvun 5306 . . . . 5  |-  `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } )
21imaeq1i 5229 . . . 4  |-  ( `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) " Z )  =  ( ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } ) " Z )
3 imaundir 5314 . . . 4  |-  ( ( `' F  u.  `' { <. X ,  Y >. } ) " Z
)  =  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )
42, 3eqtri 2462 . . 3  |-  ( `' ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) " Z )  =  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )
54eleq1i 2505 . 2  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )  e.  Fin )
6 dfdm4 5092 . . . . 5  |-  dom  { <. X ,  Y >. }  =  ran  `' { <. X ,  Y >. }
7 snfi 7216 . . . . . 6  |-  { X }  e.  Fin
8 dmsnopss 5371 . . . . . 6  |-  dom  { <. X ,  Y >. } 
C_  { X }
9 ssfi 7358 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  dom  { <. X ,  Y >. }  C_  { X } )  ->  dom  { <. X ,  Y >. }  e.  Fin )
107, 8, 9mp2an 655 . . . . 5  |-  dom  { <. X ,  Y >. }  e.  Fin
116, 10eqeltrri 2513 . . . 4  |-  ran  `' { <. X ,  Y >. }  e.  Fin
12 imassrn 5245 . . . 4  |-  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) 
C_  ran  `' { <. X ,  Y >. }
13 ssfi 7358 . . . 4  |-  ( ( ran  `' { <. X ,  Y >. }  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z )  C_  ran  `' { <. X ,  Y >. } )  ->  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin )
1411, 12, 13mp2an 655 . . 3  |-  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin
15 unfir 7404 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  ->  ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin ) )
16 unfi 7403 . . . 4  |-  ( ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin )  ->  ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. }
" Z ) )  e.  Fin )
1715, 16impbii 182 . . 3  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  <->  ( ( `' F " Z )  e.  Fin  /\  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z )  e.  Fin ) )
1814, 17mpbiran2 887 . 2  |-  ( ( ( `' F " Z )  u.  ( `' { <. X ,  Y >. } " Z ) )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )
195, 18bitri 242 1  |-  ( ( `' ( F  u.  {
<. X ,  Y >. } ) " Z )  e.  Fin  <->  ( `' F " Z )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1727    u. cun 3304    C_ wss 3306   {csn 3838   <.cop 3841   `'ccnv 4906   dom cdm 4907   ran crn 4908   "cima 4910   Fincfn 7138
This theorem is referenced by:  islindf4  27323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-fin 7142
  Copyright terms: Public domain W3C validator