Theorem funssres 3552

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Proof of Theorem funssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- x e. V
3	2	opeldm 3314	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
4	3	a1i 8	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
5	1, 4	jcad 600	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
6	5	adantl 388	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
7		eupick 1434	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
8		funeu2 3538	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
9	1	ancrd 299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10	9	19.22dv 1290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (G (_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
11	2	eldm2 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
12	10, 11	syl5ib 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G (_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
13	12	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G (_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
14	7, 8, 13	syl2an 454	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G (_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
15	14	exp43 384	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G (_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
16	15	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (G (_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
17	16	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
18	17	com34 36	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
19	18	pm2.43d 65	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
20	19	imp3a 361	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
21	6, 20	impbid 516	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
22		visset 1813	. . . . 5 |- y e. V
23	22	opelres 3372	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
24	21, 23	syl6rbbr 539	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
25	24	19.21aivv 1287	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
26		relss 3246	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (Rel F -> Rel G))
27		funrel 3533	. . . . . 6 |- (Fun F -> Rel F)
28	26, 27	syl5com 52	. . . . 5 |- (Fun F -> (G (_ F -> Rel G))
29	28	imp 350	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> Rel G)
30		relres 3387	. . . 4 |- Rel (F |` dom G)
31	29, 30	jctil 292	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (Rel (F |` dom G) /\ Rel G))
32		eqrel 3250	. . 3 |- ((Rel (F |` dom G) /\ Rel G) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
33	31, 32	syl 10	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
34	25, 33	mpbird 196	1 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E!weu 1380   (_ wss 2047  <.cop 2411  dom cdm 3170   |` cres 3172  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  fun2ssres 3553  funcnvres 3568  funssfv 3735  oprssoprval 4034  climuz0 7108  dfef2 7307  metcnss 7898  metcnss2 7899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-res 3190  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain