MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funssres Unicode version

Theorem funssres 5294
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )

Proof of Theorem funssres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
2 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
3 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
42, 3opeldm 4882 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
54a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G ) )
61, 5jcad 519 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
76adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
8 funeu2 5279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  <. x ,  y >.  e.  F
)  ->  E! y <. x ,  y >.  e.  F )
92eldm2 4877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  G )
101ancrd 537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G 
C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1110eximdv 1608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  F  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  G  ->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
129, 11syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
C_  F  ->  (
x  e.  dom  G  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) ) )
1312imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )
14 eupick 2206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E! y <. x ,  y >.  e.  F  /\  E. y ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  y >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
158, 13, 14syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  F  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  /\  ( G  C_  F  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) )
1615exp43 595 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( G  C_  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1716com23 72 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( G  C_  F  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  -> 
<. x ,  y >.  e.  G ) ) ) ) )
1817imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  <. x ,  y >.  e.  G
) ) ) )
1918com34 77 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) ) )
2019pm2.43d 44 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  e.  dom  G  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
2120imp3a 420 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  dom  G )  ->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
227, 21impbid 183 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) ) )
233opelres 4960 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2422, 23syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  G ) )
2524alrimivv 1618 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
26 relres 4983 . . 3  |-  Rel  ( F  |`  dom  G )
27 funrel 5272 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
28 relss 4775 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  ( Rel  F  ->  Rel  G ) )
2927, 28mpan9 455 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  Rel  G )
30 eqrel 4777 . . 3  |-  ( ( Rel  ( F  |`  dom  G )  /\  Rel  G )  ->  ( ( F  |`  dom  G )  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3126, 29, 30sylancr 644 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  (
( F  |`  dom  G
)  =  G  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  dom  G )  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) ) )
3225, 31mpbird 223 1  |-  ( ( Fun  F  /\  G  C_  F )  ->  ( F  |`  dom  G )  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143    C_ wss 3152   <.cop 3643   dom cdm 4689    |` cres 4691   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249
This theorem is referenced by:  fun2ssres  5295  funcnvres  5321  funssfv  5543  oprssov  5989  isngp2  18119  dvres3  19263  dvres3a  19264  dchrelbas2  20476  funpsstri  24121  funsseq  24125  oprssopvg  25034  svs2  25487  svs3  25488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-res 4701  df-fun 5257
  Copyright terms: Public domain W3C validator